在△ABC中,若sinA*cos^2(C/2)+sinC*cos^2(A/2)=3/2sinB

Question

1.求证：三边a,b,c成等差数列
2.求∠B的取值范围
3.求函数y=cos2B/(sinB+cosB)的取值范围

Answer 1

第一个问题：
∵sinA［cos（C/2）］^2＋sinC［cos（A/2）］^2＝（3/2）sinB，
∴2sinA［cos（C/2）］^2＋2sinC［cos（A/2）］^2＝3sinB，
∴sinA（1＋cosC）＋sinC（1＋sinA）＝3sinB，
∴sinA＋sinC＋sinAcosC＋cosAsinC＝3sinB，
∴sinA＋sinC＋sin（A＋C）＝3sinB，　　∴sinA＋sinC＋sin（180°－B）＝3sinB，
∴sinA＋sinC＝2sinB。　结合正弦定理，容易得到：a＋c＝2b，　∴a、b、c成等差数列。

第二个问题：
∵a＋c＝2b，　∴a^2＋c^2＋2ac＝4b^2，∴（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）＝3b^2/（2ac）－1。
结合余弦定理，得：
cosB＝3b^2/（2ac）－1＝3（a＋c）^2/（8ac）－1＝3（a^2＋c^2＋2ac）/（8ac）－1
＝3（a/c＋c/a＋2）/8－1≧3（2＋2）/8－1＝3/2－1＝1/2。
∴0°＜B≦60°。
即：∠B的取值范围是（0°，60°］。

第三个问题：
y＝cos2B/（sinB＋cosB）＝［（cosB）^2－（sinB）^2］/（cosB＋sinB）＝cosB－sinB
＝－（sinB－cosB）＝－√2sin（B－45°）。
∵0°＜B≦60°，∴－45°＜B－45°≦15°，∴－1/√2＜sin（B－45°）≦（√6－√2）/4，
∴－1＜√2sin（B－45°）≦（√3－1）/2，∴（1－√3）/2≦－√2sin（B－45°）＜1。
即y的取值范围是［1/2－√3/2，1）。

Answer 2

sinA*cos^2(C/2)+sinC*cos^2(A/2)=sinA*cosC/2+sinC*cosA/2+sinA/2+sinC/2
=sin(A+C)/2+sinA/2+sinC/2=sinB/2+sinA/2+sinC/2=3/2sinB
a/sinA=b/sinB=c/sinC=t
上式b/(2t)+a/(2t)+c/(2t)=3b/(2t) a+c=2b 所以三边a,b,c成等差数列
a+m=b=c-m
cosB=(a^2+C^2-b^2)/(2ac)=(b^2+2m^2)/(2b^2-2m^2)
m=0 cosB=1/2 B=60 120 范围(60-120)
y= cos2B/(sinB+cosB)=cosB-sinB= (-√2/2)sin(B-45)
sin(B-45)min=sin15
sin(B-45)max=sin75
y=((1-√3)/2,(-1-√3)/2)

Answer 3

在△ABC中,若sinA*cos^2(C/2)+sinC*cos^2(A/2)=3/2sinB
1.求证：三边a,b,c成等差数列
2.求∠B的取值范围
3.求函数y=cos2B/(sinB+cosB)的取值范围
(1)证明：∵在△ABC中, sinA*cos^2(C/2)+sinC*cos^2(A/2)=3/2sinB
sinA*(cosC+1)/2+sinC*(cosA+1)/2=3/2sinB
sinA*(cosC+1)+sinC*(cosA+1)=3sinB
sin(A+C)+sinA+sinC=3sinB
sinA+sinC=2sinB
∴a+c=2b
∴三边a,b,c成等差数列

(2)解析：∵三边a,b,c成等差数列，其公差为d
由余弦定理得cosB=(a^2+C^2-b^2)/(2ac)=(b^2+2d^2)/(2b^2-2d^2)
当cosB<=0时，(b^2+2d^2)<=0，显然不成立
∴0<cosB<=1
当cosB=1时，b^2+2d^2= 2b^2-2d^2==>d^2=b^2/4==>0<d<=b/2
d=b/2==>cosB=1==>B=90°
d=0==>cosB=1/2==>B=60°
∴60°<=B<=90°

(3)解析：∵函数y=cos2B/(sinB+cosB)=cosB-sinB=√2cos(B+π/4)
B=60°==>y=√2cos(7π/12)=-√2cos(5π/12)= (1-√3)/2
B=90°==>y=√2cos(3π/4)=-√2cos(π/4)=-1
∴-1<=y<=(1-√3)/2