设二次函数f（x）＝ax^2＋bx＋c（a，b，c为实数）满足f（-1)＝0，且对任意x有x-1<=f（x）<=x^2-3x+3恒成立

Question

求f（x）的表达式

Answer 1

由f(-1)=a-b+c=0, 可得b=a+c, 所以f(x)=ax^2 + (a+c)x +c。 因为对任意x有
x-1≤ax^2 + (a+c)x +c ≤x^2-3x+3
成立，取x=2, 可得1≤ 6a + 3c ≤1，所以6a+3c=1, 即c=1/3 - 2a，代入x-1≤ax^2 + (a+c)x +c可得
0≤ax^2 - (2/3+a)x + 4/3 -2a,
因为上式对任意x都成立，所以a>0, 且判别式(2/3 +a)^2 - 4a(4/3 -2a)≤0, 化简可得(3a-2/3)^2≤0,
所以a=2/9, c=1/3 - 2a=-1/9, b=a+c=1/9.
所以f(x)=(2x^2 + x - 1)/9, 经检验这个表达式满足条件。

Answer 2

f(-1)=a-b+c=0，b=a+c
f(x)=ax^2 + (a+c)x +c
对任意x有x-1<=f（x）<=x^2-3x+3恒成立
即x-1≤ax^2 + (a+c)x +c ≤x^2-3x+3恒成立
y=x-1和y=x^2-3x+3联立求交点，（2,1）
取x=2, 可得1≤ 6a + 3c ≤1，所以6a+3c=1, 即c=1/3 - 2a，
代入x-1≤ax^2 + (a+c)x +c可得
0≤ax^2 - (2/3+a)x + 4/3 -2a
由函数恒成立可知：a>0,Δ<0
解得，a=2/9，c=-1/9，b=1/9
f(x)=(2x^2 + x - 1)/9

Answer 3

NO