已知函数f(x)对任意的x,y属于R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x大于0时,f(x)小于0,f(1)=-2/3

Question

已知函数f(x)对任意的x,y属于R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x大于0时,f(x)小于0,f(1)=-2/3
1、求证:f(x)是R上的减函数
2、求f(x)在【-3,3】上的最大值和最小值

Answer 1

【问题一】：
1、求证:f(x)是R上的减函数

证明：
∵ 函数f(x)对任意的x∈R，y∈R，都有f(x)+f(y)=f(x+y)
∴ 令y=0，根据题意得：
f(x)+f(0)=f(x+0)，f(0)=0
再令y=-x，根据题意得：
f(x)+f(-x)=f(x-x)
f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(x)=-f(-x)，或 f(-x)=-f(x) 即： f(x)是奇函数（关于原点对称）

1）设x1>0，x2>0，且x2>x1，根据题意得：
∵ 函数f(x)对任意的x∈R，y∈R，都有f(x)+f(y)=f(x+y)，且已经求得 f(-x)=-f(x)
∴ x=x2，y=x1代入f(x)+f(y)=f(x+y)中得：
f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
∵ x1>0，x2>0，且x2>x1，当x大于0时，函数f(x)<0
∴ x2-x1>0，则 f(x2-x1)<0，则：
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1) <0
f(x2)<f(x1)
函数f(x)在x>0时，函数f(x)递减，函数f(x)为减函数；
2）设x1<0，x2<0，且x2>x1，根据题意得：
∵ 函数f(x)对任意的x∈R，y∈R，都有f(x)+f(y)=f(x+y)，且已经求得 f(-x)=-f(x)
∴ x=x2，y=x1代入f(x)+f(y)=f(x+y)中得：
f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
∵ x1<0，x2<0，且x2>x1，当x大于0时，函数f(x)<0
∴ x2-x1>0，则 f(x2-x1)<0，则：
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
f(x2)<f(x1)
函数f(x)在x<0时，f(x)<0，函数f(x)递减，函数f(x)为减函数；
3）设x=0
∵ f(0)=0，当x>0时，函数f(x)<0；
∴ 函数f(x)在x<0时，f(x)=-f(-x)>0=f(0)；函数f(x)在(-∞，0]上递减，函数f(x)为减函数；
函数f(x)在x>0时，f(x)<0=f(0)；函数f(x)在[0，+∞)递减，函数f(x)为减函数；

综合上述的1）、2）、3），函数f(x)在x∈R时，函数f(x)均递减，函数f(x)为减函数

【问题二】：
2、求f(x)在x∈[-3，3]上的最大值和最小值

解：
∵ 函数f(x)在x∈R时，函数f(x)均递减，函数f(x)为减函数
∴ 函数f(x)在x∈[-3，3]的最值如下：
f(x)最小值：f(3)
f(x)最大值：f(-3)
∵ 函数f(x)对任意的x∈R，y∈R，都有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-2/3
∴ f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)
=f(1+1)+f(1)
=f(1)+f(1)+f(1)
=3f(1)
∵ f(1)=-2/3
∴ f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)
=3×(-2/3）
=-2
∵ 已经求得 f(-x)=-f(x)
f(-3)=-f(3)
=2
∴ 函数f(x)在x∈[-3，3]的最值如下：
最小值：f(3)=-2
最大值：f(-3)=2

Answer 2

1）设x1>x2, x1-x2>0
f(x)+f(y)=f(x+y),取x=y=0,得f(0)=0
取y=-x,则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
故f(x)=-f(-x)
故f(x)是奇函数
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
故f(x)减
2）f(x)减，故
maxf(x)=f(-3)
minf(x)=f(3)
而f(-3)=-f(3)
下求：f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2
故max=2
min=-2

Answer 3

太难了

Answer 4

晕死