求y=tan(x+y)的2阶导数。求e的根号x次方的积分。求函数y=x+根号1-x的极值。...

Question

求y=tan(x+y)的2阶导数。求e的根号x次方的积分。求函数y=x+根号1-x的极值。求微分方程y''-4y'+5y=0的通解。
由曲线xy=1 直线y=x和y=2围成图形面积

Answer 1

(1)求y=tan(x+y)的2阶导数
解：令F(x，y)=y-tan(x+y)=0，于是
dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=[sec²(x+y)]/[1-sec²(x+y)]=-csc²(x+y)
d²y/dx²=dy′/dx=2csc²(x+y)[cot(x+y)](1+y′)=2csc²(x+y)[cot(x+y)](1-csc²(x+y)]
=-2csc²(x+y)cot³(x+y)
(2)求不定积分∫[e^(√x)]dx
解：令√x=u，则x=u²，dx=2udu，于是
原式=2∫u(e^u)du=2∫ud(e^u)=2[ue^u-∫(e^u)du]=2(ue^u-e^u)+C=2(u-1)e^u+C=2[(√x)-1]e^(√x)+C
(3)求函数y=x+√(1-x)的极值
解：定义域：由1-x≧0，得x≦1.
令y′=1-1/[2√(1-x)]=0，即有2√(1-x)=1，1-x=1/4，故得驻点x=3/4；
当x<3/4时y′>0；当x>3/4时y′<0；故x=3/4是极大点，(max)y=y(3/4)=3/4+√(1-3/4)=3/4+1/2=5/4
即函数y=x+√(1-x)有极大值5/4。
(4)求微分方程y''-4y'+5y=0的通解。
解：这是一个常系数齐次线性微分方程，其特征方程r²-4r+5=0的判别式Δ=16-20=-4<0，因此
有共轭复根r₁=2+i，r₂=2-i；故其通解为y=[e^(2x)](C₁cosx+C₂sinx)

Answer 2

1
y=tan(x+y)
y'=(1+y')/[cos(x+y)]^2
-1/cos(x+y)^2=y'tan(x+y)^2
y'= -1/[cos(x+y)^2tan(x+y)^2]=-1/(sin(x+y))^2
y''=(1+y')*2*cos(x+y)/[sin(x+y)]^3
=-2(cosx+y)^3/(sinx+y)^5

2
∫e^√xdx=2∫√xe^√xd√x=2∫√xde^√x=2(√x)e^√x-2∫e^√xd√x=(2√x-2)e^√x +C

3
y=x+√(1-x)
y'=1-x/2√(1-x) y'=0 2√(1-x)=x 4(1-x)=x^2 (x+2)^2=8 x=-2√2-2或 x= -2√2+2
x=-2√2-2 y极小=-2√2-2+√(2√2+3)=-2√2-2+√2+1=-√2-1
x=-2√2+2 y极大=-2√2+2+√(2√2-1)

4
y''-4y'+5y=0
特征方程
r^2-4r+5=0
r1=1,r2=4
通解y=C1 e^x+C2 e^(4x)

Answer 3

1、微分得dy=sec^2(x+y)*【dx+dy】，因此cos^2(x+y)*dy=dx+dy，解得dy/dx=-1/(1-cos^2(x+y))=-1/sin^2(x+y)=-csc^2(x+y)，于是y''=-2csc(x+y)*【-csc(x+y)ctan(x+y)】*（1+y')=2cos(x+y)/sin^3(x+y)*【1-1/sin^2(x+y)】=-2cos^3(x+y)/sin^5(x+y)。
2、积分（e^【根号(x)】）dx=(令x=y^2)2积分（e^y*ydy）=2ye^y-2e^y+C=2根号(x)e^【根号(x)】-2e^【根号(x)】+c
3、定义域x<=1。y‘=1-0.5/根号（1-x），令y’=0，解得x=3/4。当x<3/4时，y‘>0，当x>3/4时，y'<0，故x=3/4是极大值点，极大值为1。
4、二阶方程为c^2-4c+5=0，没有实数根，两个复数根为c=2+i，c=2-i，i为虚数单位。于是两个先行无关的解是e^(2x)sinx和e^(2x)cosx，通解为y=(C1sinx+C2cosx)e^(2x)
5、先求出三个交点：(1/2，2)，(1，1)，(2，2)，画出图形可知面积=积分（从1到2）dy【积分（从1/y到y）dx】=积分（从1到2）(y-1/y)dy=0.5y^2-lny|上限2下限1=1.5-ln2。