已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f（x）=x^2+2X。

Question

已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f（x）=x^2+2X。
若函数y=|g(x)|-k+2有四个不同的零点,求实数k的取值范围

Answer 1

g(x)=-f(-x)=-x²+2x

y=|g(x)|-k+2=|-x²+2x|-k+2
令y=0，即|-x²+2x|=k-2
y有四个零点，需：
1、k-2>0
2、-x²+2x=k-2的差别式：4-4(k-2)>0
3、-(-x²+2x)=k-2的差别式：4+4(k-2)>0
解不等式组得：2<k<3

Answer 2

关于原点对称 则y1=-y x1=-x
即 -y1=(-x1)²+2(-x1)
y1=-x1²+2x1
即g(x)=-x²+2x
y=|g(x)|-k+2=0 有四个零点
即|-x²+2x|-k+2=0 有四个零点
-x²+2x-k+2=0有两个根
4-4(k-2)>0 k<3
x²-2x-k+2=0 有两个根
4+4(k-2)>0 k>1
所以1<k<3

Answer 3

-g(x)=(-x)^2+2(-x)=x^2-2x g(x)=-x^2+2x
令g(x)=-x^2+2x>0 0<x<2
y=|g(x)|-k+2={x^2-2x-k+2(x<=0)，-x^2+2x-k+2(0<x<2)，x^2-2x-k+2(x>=2)}
y=|g(x)|-k+2在(-无穷,0)上是减，在(0,1)上是增，在(1,2)上是减，在(2,+无穷)增。
若函数y=|g(x)|-k+2有四个不同的零点，则y的值在x=0处为负，在x=1处为正，在x=2处为负。
-k+2<0 k>2，-1+2-k+2>0 k<3，4-4-k+2<0 k>2
所以，k的取值范围是：(2,3)

Answer 4

因为函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称
则G(x)=-F(-x)=-(x^2-2x)=-x^2+2x
g(x)≥f(x)-|x-1即)=-x^2+2x>=x^2+2x-|x-1|
所以2x^2-|x-1|<=0
当x>=1时，2x^2-|x-1|=2x^2-x+1<=0
而2x^2-x+1=2(x-1/4)^2+7/8>0恒成立。所以x无解
当x<1时，2x^2-|x-1|=2x^2+x-1<=0
所以-1<=x<=1/2
综述，-1<=x<=1/2

Answer 5

g(x)=-(x^2-2x)=-x^2+2x
2.-x^2+2x≥x^2+2x-|x-1|
2x^2-|x-1|<=0
当x>=1,
2x^2-x+1<=0
是空集
当x<1,
2x^2+x-1<=0
-1
<=x<=1/2
所以解是
-1
<=x<=1/2
3.
h(x)=g(x)-λf(x)=-x^2+2x-λ(x^2+2x)=(-1-λ)x^2+(2-2λ)x=(-1-λ)(x+(1-λ)/(-1-λ))^2-(-1-λ)^2/(-1-λ)
当-1-λ>0时，只要〔-1，1〕在函数对称轴的右边，则是增函数，也就是说-(1-λ)/(-1-λ)<=-1
-1+λ<=1+λ,所以λ<-1时全成立
当-1-λ<0时，只要〔-1，1〕在函数对称轴的左边，则是增函数，也就是说-(1-λ)/(-1-λ)>=1
-1+λ<=-1-λ,所以λ=<0时全成立-1<λ=<0
当-1-λ=0时,h(x)=4x，是增函数
综上，在λ=<0时是增函数