求高数题解题

Question

若函数f(x)在（a,b）内具有二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b 证明：在（x1,x3）内至少有一点c,使得f(c)的二阶导数=0

Answer 1

你好！

∵f(x)的二阶导数存在
∴f(x)的一阶导数存在
∴f(x)连续
∵f(x)在〔x1、x2〕上连续，在（x1，x2）内可导，f(x1)=f(x2)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c1属于（x1，x2），使得f‘(c1)=0
同理，f(x)在[x2，x3]上连续，在(x2，x3)内可导，f(x2)=f(x3)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c2属于（x2，x3），使得f’(c2)=0
又∵f'(x)在〔c1，c2〕上连续，在（c1，c2）内可导，f'(c1)=f'(c2)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c属于（c1，c2），使得f''(c)=0
而（c1，c2）包含于（x1，x3）
∴在（x1,x3）内至少有一点c,使得f‘’(c)=0

追问

太感谢了。
不好意思啊，那个能不能再问你几个题目啊，，

追答

可以，百度hi。

Answer 2

不求甚解