设A,B为n阶方阵,且AB＝0,证明:R(A)+R(B)小于等于n

Question

设A,B为n阶方阵,且AB＝0,证明:R(A)+R(B)小于等于n

Answer 1

因为AB＝0，所以矩阵B的列向量都是线性方程组AX=0的解；则矩阵B的列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，也就是说矩阵B的列向量组可以由AX=0 的基础解系线性表示，所以R(B) <= n-R(A)，故R(A)+R(B)小于等于n。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

扩展资料：

矩阵的秩的性质：

1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

2、初等变换不改变矩阵的秩。

3、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

4、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

Answer 2

因为 AB＝0
所以 B 的列向量都 是 AX=0 的解.
所以B的列向量组可以由 AX=0 的基础解系线性表示
所以 r(B) <= n-r(A)
所以 r(A)+r(B) <= n.

Answer 3

解：方法1)用秩的不等式
r(a)+r(b)-n<=
r(ab)
因为ab=0,所以r(ab)=0
r(a)+r(b)<=n
方法2)令b中任意列向量为(x1,x2,...,xn)^t,a=(a1,a2,...,an),则
b可由齐次线性方程组ax=o的基础解系任意组合，r(b)<=
基础解系中解的个数<=n-r(a),即r(a)+r(b)<=n.

Answer 4

由AB=0
得知B的列向量，都是方程组AX=0的解
则B列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，即n-r(A)
即r(B)<=
n-r(A)
因此
r(A)+r(B)<=n

Answer 5

因为3B≠O(矩阵),所以1存在B的一q列b≠0(列向量) 因为5AB=0,所以6Ab=0 即齐次线性方8程组AX=0存在非零解,所以5R(A)<nxzξoэ酯处u＞报u＞报bエoэ酯处sq啜x