一道高中数学题，高手进！！！！！！！！

Answer 1

(1)取x1=x2=0得f(0)=f(x0)+f(0)+f(0)，即f(x0)+f(0)=0
取x1=1，x2=0,得f（x0）=f(x0)+f(0)+f(1),即f(1)+f(0)=0
所以f（x0）=f(1),
由于f（x）在R上单调，故x0=1
（2）f（n）=f(1*(n-1)+1*1)=f(1)+f(n-1)+f(1)=2+f(n-1)
所以f（n）是首项为1，公差为2的等差数列。f（n）=2n-1
an=1/(2n-1)
Sn=1/3+1/(3*5)+……+1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1-1/(2n+1)]【注：裂项法】
bn=1+f(1/2^n)=1+f[1*1/2^(n+1)+1*1/2^(n+1)]=f(1)+2f[1/2^(n+1)]+1=2{1+f(1/2^(n+1))}=2b(n+1)
bn是首项为b1，公比为1/2的等比数列。
b1=f（1/2）+1
f(1*1/2+1*1/2)=f(1)+f(1/2)+f(1/2)=f(1)
f(1/2)=0
b1=1+0=1
bn=(1/2)^(n-1)
Tn=1*(1/2)+(1/2)*(1/2)²+……+（1/2）^(n-1)*(1/2)^n【就是对首项为1/2，公比为1/4的等比数列求和】=1/2[1-(1/4)^n]/(1-1/4)=4/3*1/2[1-1/4^n]
Tn-4/3Sn=2/3{(1-1/4^n)-[1-1/(2n+1)]}=2/3[1/(2n+1)-1/4^n]
当n≥1时，2n+1<4^n【证明略去，用导数的方法证明。】
故1/(2n+1)-1/4^n>0
所以Tn>4/3Sn
(3)令Kn=a（n+1）+……+a(2n)
由题意对任意n不小于2的时候不等式都成立，
即不等式右边<Kn的最小值=K2=a3+a4=1/5+1/7=12/35
所以不等式化为log（1/3）(x+1)-log(1/3)(9x²-1)+1<3
即log(1/3）(x+1)<log(1/3)(9x²-1)+2=log(1/3)(9x²-1)+log（1/3）(1/9)=log(1/3)(x²-1/9)
log(1/3)x为减函数，故不等式化为
x+1>x²-1/9
x²-x-10/9<0
（x-5/3）（x+2/3）<0
解得-2/3<x<5/3
又∵x+1>0,9x²-1>0得x>1/3，或者-1<x<-1/3
综上可得x的取值范围为-2/3<x<-1/3或者1/3<x<5/3