求三角函数的反三角函数

Question

求三角函数的反函数 函数y=cosx, x属于[0,2π]的反函数是_____________ 请高手详细写写过程好吗？最好能告诉我为什么要这样做？

Answer 1

考虑方法
1、当x属于[0，π]时，求出反函数。（其原因是和函数的单调性有关系，如果没学，你只要清楚y的取值在-1和1之间，定义域指的是[0，π]就可以了）
2、当x属于[π，2π]时，求出反函数（此时求反函数要考虑定义域的问题了，当y=1时，我们正常的是x=0，而在这个定义域内没有0 ，只有2π，要得到这个数只能是用2π减，为什么用2π来减，减，原因也和单调性有关系，但可以考虑为，定义域最大的是2π，周期是2π）
这道题的关键点在于定义域
解：1、当x属于[0，π]时，x=arccosy，即y=arccosx，x属于[0，π]
2、当x属于[π，2π]时，x=2π-arccosy，即y=2π-arccosx，x属于[π，2π]

追问

谢谢。那要是y=sinx, x属于[0,2π]的反函数是的呢？？

追答

这样的题，你可以这么想。如果告诉我值域，求定义域，然后再反推
y=sinx, x属于[0,2π]的反函数
我认为是分三段，[0,π/2] [π/2,3/2π] [3/2π,2π]
如果不想混，求准确，不怕麻烦的话，建议你分四段
[0,π/2] [π/2,π] [π,3/2π] [3/2π,2π]
这样虽然步骤多一点，但肯定不会出现错误
举个例子当x属于[π/2,π] 时
sinπ/2=1，sinπ=0
但是当我告诉你y=1时，我首先想到的是x=π/2，但当告诉你y=0时，我首先想到的是x=0，这和π差多少，一下子也能知道了，你将区间的两个数带进去，比较一下，就能明白，因此，在这个去区间的反函数应该是x=π-arcsiny

Answer 2

这是个分段函数。
x∈[0,π]时，直接得反函数y=arccosx
x∈[π,2π]时，y=cosx=cos(2π-x),2π-x=arccosy,交换变量次序得反函数y=2π-arccosx

Answer 3

函数y=cosx, x属于[0,2π] y的值域[-1,1] 所以反函数定义域为[-1,1]
y=cosx
x=arccosy
y=arccosx x属于[-1,1]

Answer 4

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