已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,a不≠0)且同时满足下列条件:1.f(-1)=0 2.对任意实数x,都有f(x)-x≥0

Question

3.当x∈(0,2)时,都有f(x)≤((x+1)/2)^2
(1).求f(1)的值
(2).求a,b,c的值
(3).若当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)-mx(m是实数)是单调函数,求m的取值范围

Answer 1

解：
由f(-1)=0得a-b+c=0.①
对任意实数x,都有f(x)-x≥0，则有f(1)≥1.且方程ax^2+bx+c=x的判别式△=(b-1)^2-4ac≤0.③
当x∈(0,2)时,都有f(x)≤((x+1)/2)^2，则有f(1)≤((1+1)/2)^2=1.
于是必有f(1)=1.
则a+b+c=1.②
联立①和②得
b=1/2及a+c=1/2.
将b=1/2代入式③，可得ac≥1/16。结合a+c=1/2，可知a>0，c>0，而ac≤[(a+c)/2]^2]=1/16，则必有ac=1/16且a=c>0.解得a=c=1/4.
于是a=1/4,b=1/2,c=1/4.
二次函数g(x)=f(x)-mx=1/4*x^2+(1/2-m)x+1/4=1/4*[x^2+(2-4m)x+1]的对称轴是x=-(2-4m)/2=2m-1,要是g(x)在x∈[-1,1]上为单调函数，只需2m-1≤-1或2m-1≥1，得m的取值范围为m≤0或m≥1。

追问

第二问我是这样做的 你看看哪里不对
b=1/2知道了
使f(x)=ax^2+1/2x+c=0
又因为ax^2-1/2x+c≥0
所以f(0)=0
所以-b/2a=-1/2
所以a=1/2 c=0- -

追答

"又因为ax^2-1/2x+c≥0"是怎么来的？

追问

都有f(x)-x大于等于0

追答

因b=1/2，且f(x)-x≥0，故有f(-x)=a*(-x)^2+1/2*(-x)+c≥-x，也即ax^2+1/2x+c≥0，得不到ax^2-1/2x+c≥0

追问

不是这样吗?f(x)=ax^2+1/2x+c
f(x)-x=ax^2-1/2x+c≥0

追答

哦，这样得到 f(x)-x=ax^2-1/2x+c≥0是对的。但b=1/2，只能得到二次函数f(x)=ax^2+1/2x+c（这是一个函数表达式），如果认为ax^2+1/2x+c=0（这是一个方程）则是没有根据的。

追问

哦

Answer 2

用图像法来解是最直观的了。