问一个概率论的问题

Question

一复杂系统由n个相互独立作用的部件组成.每个部件的可靠性为0.9且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作.问n至少为多在才能使系统的可靠性不低于0.95

Answer 1

Xi的分布律：P(Xi=1)=0.9,P(Xi=0)=0.1
E(Xi)=0.9,E(Xi^2)=0.9,D(Xi)=0.9-0.81=0.09
Y=X1+X2+…+Xn,E(Y)=0.9n,D(Y)=0.09n
Y看作服从μ=0.9n，σ=0.3√n的正态分布
要使P(Y>=0.8n)>=0.95 ==> 1-F(0.8n)>=0.95 ==> 1-Φ[(0.8n-0.9n)/(0.3√n)]
=1-Φ[-(√n)/3]=Φ[(√n)/3]>=0.95 ==> (√n)/3>=1.645 ==> √n>=4.935
==> n>=24.354225
所以n至少取25，才能使系统的可靠性(即无故障工作的概率)不低于95%。

Answer 2

答案是n=14
首先对应此问题构造母函数
y=(0.9x+0.1)^n
展开后得到y=C(n,0)*0.9^n*x^n+C(n,1)*0.9^(n-1)*x^(n-1)......
其中对于所有x的次数不低于n的80%的项的系数求和就是系统的可靠性。

由于本人数学功底不够，接下来做法有些不够数学化，对不起。
用excel做表算出系统可靠性：
1 0.9
2 0.81
3 0.729
4 0.9477
5 0.91854
6 0.885735
7 0.8503056
8 0.81310473
9 0.947027862
10 0.929809174
11 0.910438149
12 0.889130022
13 10.866117245
14 0.955867076
15 0.94444437
16 0.931593826
17 0.917359377
18 0.901803159
19 0.885002442
20 0.956825505
得出n=14

追问

y=(0.9x+0.1)^n
这个公司的依据是什么啊- -还从没看过呢。。
展开之后的C(n,0)*这些也不懂啊- -

追答

y=(0.9x+0.1)^n母函数,自己凑一个方便说明不是公式，如果要完整的证明结果而不是像我之后一个一个计算的话会有用= =！
（0.9x+0.1）意思就是说对于一个元件，有0.9的概率它是好的，那么好的元件数量+1（就是乘了一个0.9x），或者它是不好的，就是有0.1的概率好的元件数量不变（就是乘了0.1）。
于是对于n各元件，就把n个（0.9x+0.1）乘在一起，就能表示出所有不同情况以及其占的概率。

C(n,k)指的是组合公式，就是从N个元素里不按顺序地选出k个的方法数。

后面就是求分别有1~0.8n个元件跪了的概率总和。

追问

公式里面的80%没有体现 您说其中对于所有x的次数不低于n的80%的项的系数求和就是系统的可靠性。
意思是不是X=0.8n？ 不过这种做法 有点类似高中的概率做法了- - 而不像大学的做法了。。。
而且我觉得这个母公式也有一点问题。（0.9X+0.1）有点类似于期望E。但是您是用1*0.1的 0.9X的X我理解为0.8n 那0.9X可以理解的通。但是E是数量乘以概率啊。 你不知道坏的元件数量，怎么能用概率乘1呢？这没意义啊。
求真相

追答

额。。。“对于所有x的次数不低于n的80%的项的系数求和就是系统的可靠性。”
80%体现在x的系数上，就是说(0.9x+0.1)^n展开之后，应该是一种a1*x^n+a2*x^(n-1)+...+an*x+a0的形式。就像我上面说的每一个（0.9x+0.1）都是一个选择。比如x^k*(0.9x+0.1)=0.9x*k+0.1k，就是说正常元件的数目原来100%是k，加上了这一个之后现在90%是k+1，10%是k了。
这里的x不具有实际的意义，x存在的目的只是用它的次数表示选取的个数。

关于母函数建议LZ去找离散数学的相关书籍看一下，它是一种工具而不是结果，跟其它的公式、函数是有使用方式上的区别的。

追问

虽然不懂您在说什么，但是感觉您好牛啊。大学数学是一个很抽象的东西- -当它出现在计算机上用文字交流就更抽象了。。你的^是什么意思我也不懂。。。“x存在的目的只是用它的次数表示选取的个数。”选取的个数不是n么？？“就是说正常元件的数目原来100%是k，加上了这一个之后现在90%是k+1，10%是k了” 这里我也不太懂 100%不是n么 怎么变k了。而且90%还比100%多一个？杂会呢？90%肯定比100%少啊。。。

追答

a^b就是a的b次方......打字果然理解起来困难
选取的个数是n个没错，但这里指的是选取的“正常的”工件个数。
那个k我只是举例子假设而已...别在意……
抛开你的问题，在一堆工件里面，前面k个一定是正常的，那么我们用1*x^k来表示有100%的概率，前面k个是正常的。
那么对于下一个工件有两种情况：有90%的概率下一个也正常，就是0.9*x^k*x；10%不正常，就是0.1*x^k。很明显这样使得概率（就是前面的0.9，0.1）加起来还是1，并且表示出了再增加一个工件后的所有情况。

追问

恩 已经懂您的思路了~不过x的K次方代表什么意思呢 - -感觉没意义呢。。你说x存在的目的只是用它的次数表示选取的个数。那个数的K次代表什么意思呢。。。没意义吧？

追答

x的k次方确实是没有实际意义的，只相当于一个标注：a*x^k：有个工件正常这个概率是k

追问

你好 谢谢你这么热心的帮助。。。。不过我觉得肖XF小的方法才是对的。。而且很好理解。所以我采纳了她的答案。谢谢你的帮助。。。