证明a平方除以b，加上b平方除以c，加上c平方除以a，大于等于a+b+c(a.b.c均为正数）

Question

请高手用高中的知识解答！~
最好写出解题过程哈！~~

Answer 1

证明:
∵ a,b,c > 0,
∴ (a^2/b + b)/2 ≥ sqrt(a^2/b * b)=a sqrt:平方根
a^2表示a的平方 等号当且仅当 a^2/b = b 即：a=b时成立。

同理 (b^2/c + c)/2 ≥ sqrt(b^2/c * c)=b
(c^2/a + a)/2 ≥ sqrt(c^2/a * a)=c
左右分别相加

1/2（a^2/b + b + b^2/c + c + c^2/a + a）≥ a + b + c
化减得：
a^2/b + b^2/c + c^2/a ≥ a + b + c

Answer 2

用柯西不等式：（a^2/b+b^2/c+c^2/a）x(a+b+c)大于等于[(a^2/b)xb开方+(b^2/c)xc开方+(c^2/a)xa开方]^2＝（a+b+c）^2
x表示乘号
开方指(b^2/c)xc整体开方，其余类似
如果你没学柯西不等式，可以自己证明：
（A^2+B^2+C^2）乘以（a^2+b^2+c^2）大于等于（Aa+Bb+Cc）^2 (*)
f(x)=(Ax-a)^2+(Bx-b)^2+(Cx-c)^2>=0
A,B,C>0
所以f(x)展开式中，判别式<=0,即(*)成立

Answer 3

通分
(a^3b+b^3c+c^3a)/abc

=(a^3b+abc^2+b^3c+bca^2+c^3a+cab^2
-abc^2-a^2bc-ab^2c)/abc

=[ab(a^2+c^2)+bc(b^2+a^2)+ca(c^2+b^2)-
abc(a+b+c)]/abc

>=[2a^2bc+2b^2ac+2c^2ab-abc(a+b+c)]/abc

=a+b+c

差不多了吧，打字母太麻烦，省略了点．

Answer 4

不等式两边同时加上（a+b+c）,奇迹就出现了，得到：
左边=（a平方除以b）+（b平方除以c）+（c平方除以a）+（a+b+c）
换一下位置就可以看到
（a平方除以b）+b,和（b平方除以c）+c,以及（c平方除以a）+a
上面的3组同时运用均值不等式就可以得到大于等于2*（a+b+c）
所以a平方除以b，加上b平方除以c，加上c平方除以a，大于等于a+b+c(a.b.c均为正数）

Answer 5

楼主是高一的吧,不等式的证明有点难,要凑出重要不等式的形式.
对这题,第一种方法想到移项:
(a^2-b^2)/b+(b^2-c^2)/c+(c^2-a^2)/a>=0但是问题出现了,平方差的形式不能使用重要不等式,如果减号是加号就好了,而移项的实质就是不等式两边同时加上同一个代数式,所以
对原不等式"两边同加a+b+c",通分后就有"a^2+b^2>=2ab"的形式了

Answer 6

用柯西不等式：（a^2/b+b^2/c+c^2/a）x(a+b+c)大于等于[(a^2/b)xb开方+(b^2/c)xc开方+(c^2/a)xa开方]^2＝（a+b+c）^2
x表示乘号
开方指(b^2/c)xc整体开方，其余类似