已知函数f(x)=ax-1/a-(a+1)lnx(a<1)①讨论函数f(x)的单调区间②若 0<a<1/e,试证对区间[1...

已知函数f(x)=ax-1/a-(a+1)lnx(a<1)①讨论函数f(x)的单调区间②若
0<a<1/e,试证对区间[1
,e]上的任意x1,x2,总有|f(x1)-f(x2)|<1/e成立

第1个回答  2012-05-20
解:① f'(x)=(ax-a-1)/x,x>0
∴当0<a<1时,令f'(x)>0得x>1+1/a,令f'(x)<0得0<x<1+1/a,此时f(x)的增区间为(1+1/a,+∞)
减区间为(0,1+1/a)
当a=0时,f'(x)=-1/x<0,f(x)在定义域上递减
当a<0时,令f'(x)>0得0<x<1+1/a,令f'(x)<0得x>1+1/a,此时f(x)的减区间为(1+1/a,+∞)
增区间为(0,1+1/a)
② 由已知,a∈(0,1),由①知,此时f(x)的减区间为(0,1+1/a),
又1/a∈(e,+∞),1+1/a>e
∴f(x)在[1,e]上递减,最大值为f(1)=a-1/a,最小值为f(e)=ae-1/a-a-1,
所以对任意x1,x2,总有|f(x1)-f(x2)|<f(1)-f(e)=(2-e)a+1<(2-e)·1/e+1=2/e
即|f(x1)-f(x2)|<2/e

...a+1)lnx(a<1)①讨论函数f(x)的单调区间②若 0<a<1\/e,试证对...
解:① f'(x)=(ax-a-1)\/x,x>0 ∴当0<a<1时,令f'(x)>0得x>1+1\/a,令f'(x)<0得0<x<1+1\/a,此时f(x)的增区间为(1+1\/a,+∞)减区间为(0,1+1\/a)当a=0时,f'(x)=-1\/x<0,f(x)在定义域上递减 当a<0时,令f'(x)>0得0<x<1+1\/a,令f'(...

已知函数f(x)=ax-1\/ax+1(a大于0,且a不等于1),讨论f(x)的单调性 ax指a...
这题要先算奇偶性f(-x)=[a^(-x)-1]\/[a^(-x)+1] =[1-a^x]\/[1+a^x] =-(a^x-1)\/(a^x+1) =-f(x) 故f(x)为奇函数 f(x)为奇函数,所以只讨论在x>0时的情况 ①当a>1时,a^x为增函数 令:0<x1<x2 则,f(x1)-f(x2)=[(a^x1-1)...

已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f...
(1)∵f(x)=ax-1-lnx,∴f′(x)=a-1x=ax-1x,当a≤0时,f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,∴函数f(x)在(0,+∞)单调递减;当a>0时,f'(x)<0得 0<x≤1a,f'(x)>0得x>1a,∴f(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,+∞)上单调递增,综上所述,当...

已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个...
1x=ax?1x,当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点;当a>0时,f'(x)<0得0<x<1a,f'(x)>0得x>1a,∴f(x)在(0,1a)上递减,在(1a,+∞)上递增,即f(x)在x=1a处有极小值.∴...

已知函数f(x)=ax-1x-(a+1)lnx(a>0).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2...
(Ⅰ)f′(x)=a+1x2?a+1x,由f′(2)=34?a=2(Ⅱ)由f′(x)=a+1x2?a+1x=0?x1=1a,x2=1①当1a<1,即a>1时,函数f(x)在(0,1a)上单调递增,在(1a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增即函数f(x)在x=1处取得极小值②当1a=1,即a=1时,函数f(x...

已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)讨论函数f...
(1)解:f′(x)=a-1x=ax?1x(x>0).当a≤0时,ax-1<0,从而f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,若0<x<1a,则ax-1<0,从而f′(x)<0,若x>1a,则ax-1>0,从而f′(x)>0,函数在(0,1a)上单调递减,在(1a,+∞)上单调递增...

22.已知函数f(x)=ax--- (a+1)Inx. (2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值...
令最小值=f[(a+1)\/a]=0,得 a=1\/(e-1),可得 0<a<1\/(e-1) 时,最小值<0,两个零点,不合要求;a>1\/(1-e) 时,最小值>0,无零点,不合要求,综上,使函数 f(x)=ax-(a+1)lnx 恰有一个零点的 a 的取值范围是:[-1,0]U{1\/(e-1)},即{a | -1≤a≤0 或...

已知函数f(x)=ax+1\/a(1-x)(a>0),且f(x)在[0,,1]上的最小值为g(a...
则f(x)的最小值=f(0)=1\/a=g(a)f(x)的最大值=f(1)=a 由于g(a)=1\/a,为单调递减的双曲函数,当a趋近于0时,g(a)无限趋近于正无穷,故g(a)无最大值 当系数(a^2-1)\/a<0时,即0<a<1时:f(x)为单调递减的一次函数,则f(x)的最小值=f(1)=a=g(a)f(x)的最大值=f...

已知函数f(x)=lnx - ax + (1-a)\/x -1(a∈R) ,当0≤a<1\/2时,讨论f(x...
y=(ax-1+a)(x-1)是开口向上的抛物线,当0<x<1时(ax-1+a)(x-1)>0,f'(x)<0,f(x)为单调递减函数。当1<x<1\/a-1时(ax-1+a)(x-1)<0,f'(x)>0,为单调递增函数 当x>1\/a-1时(ax-1+a)(x-1)>0,f'(x)<0,为单调递减函数。当x=1或x=1\/a-1时(ax-1+a)(x-1)...

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