若平面图形D由y=根号x,y=x-2及x轴围成，求D的面积和绕x轴旋转后的旋转体体积！能否详细点。这类问题不...

Question

若平面图形D由y=根号x,y=x-2及x轴围成，求D的面积和绕x轴旋转后的旋转体体积！能否详细点。这类问题不太懂！谢谢！

Answer 1

解法一：所求面积=∫<0,2>(y+2-y²)dy
=(y²/2+2y-y³/3)│<0,2>
=2²/2+2*2-2³/3
=10/3
所求体积=∫<0,2>2πy(y+2-y²)dy
=2π∫<0,2>(y²+2y-y³)dy
=2π(y³/3+y²-y^4/4)│<0,2>
=2π(2³/3+2²-2^4/4)
=16π/3；
解法二：所求面积=∫<0,2>√xdx+∫<2,4>(√x-x+2)dx
=[(2/3)x^(3/2)]│<0,2>+[(2/3)x^(3/2)-x²/2+2x]│<2,4>
=[(2/3)*2^(3/2)]+[(2/3)*4^(3/2)-4²/2+2*4-(2/3)*2^(3/2)+2²/2-2*2]
=10/3
所求体积=∫<0,2>πxdx+∫<2,4>π[x-(x-2)²]dx
=π(x²/2)│<0,2>+π(5x²/2-x³/3-4x)│<2,4>
=π(2²/2)+π(5*4²/2-4³/3-4*4-5*2²/2+2³/3+4*2)
=16π/3。

Answer 2

好像刚才回答了类似的问题,提示：
1.D由曲线y=√(x)，y=x-2，及x轴围成，0《x《2
则：1.平面图形的面积S=∫[0,1]√(x)dx+∫[1,2](x-2)dx=...........(下方图形）

2.此平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积:
V=∫[0,1]πxdx+∫[1,2]π(x-2)^2dx=..............

Answer 3

A 先说求面积。
1.求出曲线和直线在1象限的交点，为（4,2）。
2.求面积实际上是求无数个小矩形的面积，关键是构造小矩形。在这里考虑矩形的宽为dy（可以理解为Δy）,那么小矩形长的一个端点在曲线上，另一端点在直线上，这时矩形的长的表达式就应该是 (X直线-X曲线），用y表达就应该是（y+2-y平方），小矩形面积就是：（y+2-y平方）dy，dy的变化范围，即积分区间：（0,2），按此求积分就是阴影面积。
也可以把小矩形长设为dx，但此时矩形的长一端在曲线上，另一端点部分在X轴上，一部分在直线上，要分开处理，稍显麻烦，道理是一样的。
B，再说求旋转体积
1.求体积的基本思路是无数个小圆柱体的叠加。因为是绕X旋转，因此考虑小圆柱体高设为dx，小圆柱体底面半径分2部分，一部分是x从0到2，半径为（√x-0）,另一部分是x从2到4，半径为 （√x-（x-2)）。
2.因此，体积表达式为π（√x-0）平方dx从0到2的积分+π（√x-（x-2)）平方dx从 2 到4的积分。
比较啰嗦。参考。
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