一道高中数学题（排列与组合）

Question

4个同学有四张贺卡，放在一起，每个同学抽一张，恰好都没拿到自己贺卡的情况有多少种？(要是是5个同学有5个贺卡呢？）

Answer 1

同学 A B C D
贺卡 1 2 3 4
A2 B1 C4 D3
A2 B3 C4 D1
A2 B4 C1 D3 A同学拿2时有3种情况，同理A3，A4各有3种情况
所以一共有9种

同学 A B C D E
贺卡 1 2 3 4 5
A2 B1 D3 E4 C5
A2 B1 E3 C4 D5 2种
A2 C1 (不列举了) 2种
A2 D1 (不列举了) 2种
A2 E1 (不列举了) 2种
A同学拿2时有8种情况，同理A3，A4，A5各有8种情况
所以一共有32种

Answer 2

全错位排列
4个情况：A(4,4)-C(4,1)A(3,3)+C(4,2)A(2,2)-C(4,3)A(1,1)+C(4,4)A(0,0)＝9
5个情况：A(5,5)-C(5,1)A(4,4)+C(5,2)A(3,3)-C(5,3)A(2,2)+C(5,4)A(1,1)-C(5,5)A(0,0)＝44

希望以下资料对你有帮助：
全错位排列 sr1305
初中生6 1楼

全错位排列
先看下面例子：
例1 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：
先考虑5个有的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一（有A44种）与乙排第二（也有A44种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55－2A44＋A33＝78种。

现在考虑：
例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。
仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64种
这与全错位排列很相似。
全错位排列——即n个元素全部都不在相应位置的排列。看下面的问题

例3 5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1，例2实际上可以看成n个不同元素中有m（m≤n）不排在相应位置。

公式一：n个不同元素排成一排，有m个元素（m≤n）不排在相应位置的排列种数共有：Ann－C(m,1)•A(n-1,n-1)+C(m,2)•A(n-2,n-2)+……+(-1)^m•C(m,m)•A(n-m,n-m)
这个公式在n＝m时亦成立
从而这个问题可能用上面的公式得出：
A55－C(5,1)•A44＋C(5,2)•A33－C(5,3)•A22＋C(5,4)•A11－C(5,5)•A00＝44种
（注意A00＝0!＝1）

再看1993年高考题：
同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。则四张贺年卡不同的分配方式有
(A)6种　　　　　　 (B)9种　　　　　　　 (C)11种　　　　　　(D)23种
解析：由上面公式得：
A44－C(4,1)•A33＋C(4,2)•A22－C(4,3)•A11＋C(4,4)•A00＝9种，∴选择B答案

因此可得到全错位排列的公式：
n个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n个元素不在第n位的排列数为：
Ann-C(n,1)•A(n-1,n-1)+C(n,2)•A(n-2,n-2)+……+(-1)^n•C(n,n)•A(n-n,n-n)

这实际上是公式一的特殊情况。这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题，都可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助。

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Answer 3

三分之一。四分之一吧。甲乙丙丁四个同学贺卡分别对应为ABCD。甲抽到不是自己的贺卡概率为三分之一。第二次由被抽中的贺卡对应的同学去抽，则抽到不是自己的贺卡概率为1，依次类推既得。

Answer 4

互送贺卡是特殊问题 你只要记住就行了 最多人不超过5个 4个人6种 5个人24种

Answer 5

9