关于反证法的一些问题，回答得越快越好，如果答案非常好的话，我会追加分数。

Question

《反证法的适用范围：反证法主要解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有： 1：结论是否定型的命题 2：结论是无限型的命题 3：结论是“至多”或“至少”型的命题》 书名号中的内容应该怎么解释？我看不太懂。什么是否定型？什么是无限型？什么是至多至少型？

Answer 1

反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。 

反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 

证明：根号二是无理数。 

　　假设命题不真，则√2为有理数，设√2=n/m，即最简分数的形式。 

　　则n∧2/m∧2=2，2m∧2=n∧2 

　　所以n∧2为偶数，则n为偶数，可表示为2x 

　　则2m∧2=4x∧2 

　　所以m∧2=2x∧2 

　　则m也为偶数 

　　所以m和n有公因数2，与n/m为最简分数矛盾 

　　所以√2为无理数！ 

 

1：结论是否定型的命题   例如“一个三角形中不能有两个角是直角”，

“两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．”

如图，已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦，求证AB与CD不能互相平分．

“若|a|≠|b|，则a≠b．”

 

2：结论是无限型的命题 ：如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数”

若a＞b＞0，则 a＞ b 

已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，求证：c与b也相交．

 

 

3：结论是“至多”或“至少”型的命题

设x1、x2、x3都是正数，且x1+x2+x3=1，那么这三个数中至少有一个大于或等于1/3 ．

“三角形三个内角中至少有两个锐角”

“三角形三个内角中最多有一个直角”

“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”

“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．

追问

无限型的能说的再详细一点吗？

追答

例如：用反证法证明质数有无限个
假设素数有限，且最大的素数为P，

那么有P！+1和P！-1不能同时被所有≯P的素数整除。（P！为素数阶乘，表示小于或者等于P的所有素数相乘）

如果P！+1和P！-1是素数，∵P！+1>P，P！-1>P，跟假设不符合，假设不成立。①
如果P！+1和P！-1不是素数，则必有一个新的素数P+，P<P+<P！+1（或P！-1）是P！+1（或P！-1）的素因数。跟假设不符合，假设不成立。②

P！+1和P！-1要么是素数，要么不是素数，且≠1。③

综合①②③，假设不成立。
∴素数是无穷的。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/276975.htm