求微分方程y''=y'+x满足初始条件y|x=0=0，y'|x=0=0的特解

Question

我是这样子做的，令y'=p，然后y''=y'+x→p'=p+x，往下就不懂做了，如何让求出p来，然后求出y？

Answer 1

我认为应该先求y''=y'的通解，再求y''=y'+x的一个特解，最后求总的特解
y''=y'，y''-y'=0
特征方程：r²-r=0，r₁=0，r₂=1
通解：y=C'₁+C₂e^x
设y''=y'+x的一个特解为y*=ax²+bx+c，则y*'=2ax+b，y*''=2a
2a=2ax+b+x，(2a+1)x+(b-2a)=0
2a+1=0，b-2a=0
a=-1/2，b=-1，c∈R
y*=(-1/2)x²-x+c
所以y''=y'+x的通解为y=C'₁+C₂e^x+(-1/2)x²-x+c=C₁+C₂e^x-(1/2)x²-x
y'=C₂e^x-x-1
x=0时，y=C₁+C₂=0，y'=C₂-1=0
C₁=-1，C₂=1
特解：y=e^x-(1/2)x²-x-1

Answer 2

由特征方程λ^2=λ,得：λ=0,1
因此y1=c1+c2e^x
设y*=ax^2+bx+c, 代入得：2a=2ax+b+x, 得：2a=b, 2a+1=0
解得：a=-1/2, b=-1, y*=-x^2/2-x+c
所以y=y1+y*=c2e^x-x^2/2-x+c3， （c3=c1+c)
代入y(0)=0, 得：0=c2+c3
y'=c2e^x-x-1, y'(0)=0=c2-1
解得：c2=1, c3=-1
故特解为：y=e^x-x^2/2-x-1

追问

~~~~(>_<)~~~~ ，我不懂特征方程，没学过，有简单一些的解题过程吗？

追答

那就令p=y'
则y"=p'
方程化为: p'=p+x
化成一阶方程，用一阶方程的公式求出p.
再积分求得y.

追问

我就是到p'=p+x,往下就不懂做了。~~~~(>_<)~~~~

追答

公式法：∫(-1)dx=-x
∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)+∫e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)
通解：p=[-xe^(-x)-e^(-x)+c]e^x=-x-1+ce^x
p(0)=-1+c=0, 得：c=1
p=-x-1+e^x=y'
积分得：y=e^x-x^2/2-x+c1
y(0)=1+c1=0, 得c1=-1
y=e^x-x^2/2-x-1

追问

∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)+∫e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)
通解：p=[-xe^(-x)-e^(-x)+c]e^x=-x-1+ce^x

以上从何而来？尤其是∫xe^(-x)dx，题目没有给出来啊。

追答

Answer 3

解为
y= - 1/2*x^2+e^x-x-1

追问

麻烦详解一下~！谢谢！