求数学好的大神指点下！

Question

已知二次函数y=x2-kx+k-2(1)求证：不论k为何实数，函数的图像与轴总有两个交点。（2）k为何值时，这两个交点的距离最小？并求出最小值

Answer 1

(1)只需证判别式=k^2-4(k-2)恒大于0即可
=k^2-4k+8=(k-2)^2+4>0
所以总有两个根

(2)交点距离=|x1-x2|
由伟大定理
x1+x2=k
x1x2=k-2
|x1-x2|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=k^2-4(k-2)=(k-2)^2+4要最小
所以k=2,|x1-x2|^2最小=4,|x1-x2|=2
两者距离最短为2,此时k=2

Answer 2

y=x²-kx+k-2
delta=(-k)²-4(k-2)=k²-4k+8=(k-2)²+4≥4>0
则 不论k为何实数，函数的图像与轴总有两个交点
(2).
交点的距离为 |x2-x1|
其中 x2,x1是x²-kx+k-2=0 的两个不等实根
x2+x1=k
x2x1=k-2
|x2-x1|=√(x2-x1)²=√[(x2+x1)²-4x2x1]=√[k²-4(k-2)]=√[(k-2)²+4]
k=2时 距离最小 为2

Answer 3

解
（1）（-k)^2-4(k-2)
=k^2-4k+8
=(k-2)^2+4
>0
所以 该函数图象与x轴总有2个交点。

（2）设交点为x1、x2且x2>x1
根据韦达定理，
x1+x2=k，x1x2=k-2
所以 (x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=k^2-4(k-2)
=k^2-4k+8
=(k-2)^2+4
当k=2时，(x1-x2)^2=4，x1与x2有最小距离根号4=2.

Answer 4

（1）函数的图像与轴总有两个交点，是与x轴的交点，则y=0，即x^2-kx+k-2=0有两个不同解
那么有u=(-k)^2-4*(k-2)=k^2-4k+8=(k-2)^2+4大于等于4，所以方程x^2-kx+k-2=0有两个不同解，即不论k为何实数，函数的图像与x轴总有两个交点.
(2)设两交点为（x1，0）,(x2,0)
则有x1+x2=k, x1*x2=k-2, 那么有(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2=k^2-4k+8=(k-2)^2+4
两交点的距离为|x1-x2|，要使两交点的距离最小，即要(x1-x2)^2最小，而当k=2时(x1-x2)^2最小，所以当k=2时，这两个交点的距离最小，且最小值为|x1-x2|=2

Answer 5

1.△=k^2-4(k-2)=k^2-4k+8=（k-2）^2+4恒大于0
即要y=0该方程有2个解，即恒与x轴有2个交点
2.我们知道2次函数的解为（-b+-根号b平方-4ac）/2a
故2点的距离为2解的差值
等于 （2倍根号b平方-4ac）/2a=（2倍根号（k-2）^2+4）/2
当k=2时 原式最小=2
即最小值为2

Answer 6

方程x2-kx+k-2=0的判别式为k^2-4K+8=(K-2)^2+4>0,所以函数的图像与轴总有两个交点
两根的差=2√k^2-4K+8，因为k^2-4K+8≥4，所以两根的差≥2√4=4，此时k=2