已知函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c（实数a,b,c为常数）的图像过原点，且在x=1处...

Question

已知函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c（实数a,b,c为常数）的图像过原点，且在x=1处的切线为直线y=-1/2.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间［-m，m］上的最大值.

Answer 1

（1）当x=0时，f(0)=0=c,f(1)=1+a+b
f '(x)=3x^2+2ax+b,f '(1)=3+2a+b
f '(x)(x-1)=y-f(1),即(3+2a+b)(x-1)=y-1-a-b 且在x=1处的切线为直线y=-1/2.
那么x的系数为0，3+2a+b=0，1+a+b=-1/2，则a=-3/2,b=0
f(x)=x^3-3/2x^2
(2)f '(x)=3x^2-3x=0,x1=0,x2=1
x在（负无穷，0）和（1，正无穷上）单增，（0，1）单减
当m在（0,1），函数在（0，m)单减，在（-m,0)单增，当x=0时候，最大值为0，
当m在（1，正无穷），函数在（1，m)和(-m,0)单增，在（0,1）单减
当x=m,f(m)=m^3-3/2m^2最大

Answer 2

第一个问题：
∵f（x）＝x^3＋ax^2＋bx＋c，∴f′（x）＝3x^2＋2ax＋b，∴f′（1）＝3＋2a＋b。
∵f（x）在x＝1处的切线是y＝－1/2，∴3＋2a＋b＝0。······①
∵f（x）过原点，∴c＝0。
显然，y＝－1/2切f（x）于（1，－1/2），∴1＋a＋b＋c＝－1/2，∴b＝－a－3/2。······②
②代入到①中，得：3＋2a－a－3/2＝0，∴a＝3/2－3＝－3/2。
∴b＝3/2－3/2＝0。
∴函数f（x）的解析式是：f（x）＝x^3－（3/2）x^2。

第二个问题：
显然有：f′（x）＝3x^2－3x＝3x（x－1），∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0。
∴f（x）在区间（－∞，0）∪（1，＋∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减。
∴f（x）在x＝0处有极大值，且极大值＝0。
∵f（x）＝x^3－（3/2）x^2＝x^2（x－3/2），∴f（3/2）＝0。
于是：
一、当0＜m≦3/2时，f（x）的最大值＝f（0）＝0。
二、当m＞3/2时，f（x）的最大值＝f（m）＝m^3－（3/2）m^2。

Answer 3

(1)
f '(x)=3x²+2ax+b
因为 ：在x=1处的切线为直线y=-1/2
所以，x=1是导函数的一个根，
即 3+2a+b=0 .......................... ①
因为f(x)的图像过原点，所以c=0
再次用：在x=1处的切线为直线y=-1/2
原函数过(1,-1/2)
-1/2=1+a+b .............................. ②
由①得：
2+a+(a+b+1)=0==>a= - 3/2,
b=0
f(x)=x³-3/2x²
(2)
f ‘(x)=3x(x-1)
f(x)有两个极值点，x1= 0,x2=1
当m≤1时，函数在[-m,m]上先增后减
f(MAX)=f(0)= 0
当m>1时，函数在[-m,m]上先增后减再增；
令f(x)=0==>x=3/2
所以，
当1<m≤3/2
f(MAX)=f(0)=0
当3/2＜m时，
f(MAX)=f(m)=m³-3/2m