大一高数极限问题，求详细解释

Question

1.limx-》0（x*【1/x】）的极限
2.limx-》{x^2/(x^2-1)}^x的极限
3.limn-》无穷{(1+x)(1+x^2)....(1+x^2n)}(x绝对值小于1)的极限
4已知lim-》1f(x)/(x-1)^2=-1，证明在x=1点的某去心领域内有f（x）《0
5.n趋于无穷是，2^n为无穷大
求各位大哥大姐的详细解释。。刚刚学。。完全不懂呀。，十分感谢！！

Answer 1

解：（1）我看错了，第一题是取整：
1/x-1<[1/x]<1/x，所以(1-x)<x*[1/x]<1
对左边取极限，得：lim(x->0)(1-x)=1,对右边取极限，的极限也是1，
所以原极限=1

（2）lim(x->∞)[x^2/(x^2-1)]^x=lim(x->∞)[1+1/(x^2-1)]^[(x^2-1)/x]（因为(x^2-1)/x=[x-(1/x)]->x）
=lim(x->∞){[1+1/(x^2-1)]^(x^2-1)}^(1/x)=lim(x->∞)e^1/x=e^0=1

（3）(1+x)(1+x^2)....(1+x^2n)左乘一个(1-x)，运用平方差公式，等于(1-x^4n)
原极限=lim(n->∞)[(1-x^4n)/(1-x)]=1/(1-x)

（4）lim(x->1)[f(x)/(x-1)^2]=-1，可得在x=1点的某去心领域内，|f(x)/(x-1)^2-(-1)|<ε
即：|f(x)+(x-1)^2|<ε*(x-1)^2,因为在x=1点的某去心领域,所以|x-1|<√δ(δ为某一正常数)
-δ*ε<f(x)+δ<δ*ε，解得 -δ(1+ε)<f(x)<-δ(1-ε)，令ε<1，则-δ(1-ε)<0，即f(x)<0，
即：在x=1点的某去心领域内有f（x）<0

（5）当n->+∞,时，对任意正实数N>0，存在正实数M>log2(N+ε)，都有n>M，
所以|2^n-N|>|N+ε-N|=ε，所以n->∞时，2^n->∞。

Answer 2

第一题估计【1/x】是取整，要不太简单了。
用夹逼x(1+1/x)<=x([1/x])<=x(1/x)
两边极限为1，故其极限为1

2、x应该是趋于无穷
原式=lim[1+1/(x^2-1)]^x=lim{[1+1/(x^2-1)]^(x^2-1)}^[x/(x^2-1)]=e^0=1

3、最后一个应该是1+x^(2^n)，把式子拆开就是个等比数列前2n项和。
原式=lim(1+x+x^2+....+x^...)=1/(1-x)

4、函数极限有局部保号性
lim-》1f(x)/(x-1)^2=-1<0
故存在x=1点的某去心领域内有f(x)/(x-1)^2<0
显然1/(x-1)^2>0
故f(x)<0

5、这个应该是根据定义证明。
2^n=(1+1)^n>n
故任取的M
要使2^n>M
只要n>M
下略

追问

谢谢。。写的很详细，抱歉，我有很多错误，我还有些不懂，
最后一个应该是1+x^(2^n)，把式子拆开就是个等比数列前2n项和。
这个是怎么拆开的？
x(1+1/x)<=x([1/x])<=x(1/x)

前后有反么？

追答

(1+x)(1+x^2)=1+x+x^2+x^3
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7
......

x(1+1/x)<=x([1/x])<=x(1/x)
这个是我写错一下。。。。。
-1+1/x<=[1/x]<=1/x 取整肯定比原来的要小，但比原来的减1要大
故x(-1+1/x)<=x([1/x])<=x(1/x)

追问

还有一个问题。。
还有^[x/(x^2-1)]这个极限为什么是0

追答

x趋于无穷。。。
x/(x^2-1) 这个极限为零不用解释吧。。非要解释，上下同除x