高等数学三道求极限题 ⑴lim x→4 ［[√（2x+1）-3]/√x-2］ ⑵lim x→∞［ [(1+2+3+…n)/n+2]-n/2...

Question

高等数学三道求极限题
⑴lim x→4 ［[√（2x+1）-3]/√x-2］
⑵lim x→∞［ [(1+2+3+…n)/n+2]-n/2］
⑶lim x→∞ [√(x+5)-√x]

Answer 1

1、有理化
lim[x→4] [√(2x+1)-3][√(2x+1)+3](√x+2) / (√x-2)(√x+2)[√(2x+1)+3]
=lim[x→4] (2x+1-9)(√x+2) / (x-4)[√(2x+1)+3]
=lim[x→4] 2(x-4)(√x+2) / (x-4)[√(2x+1)+3]
=lim[x→4] 2(√x+2) / [√(2x+1)+3]
=8/6
=4/3

2、lim[n→∞] (1+2+...+n)/(n+2) - n/2
=lim[n→∞] (1/2)n(n+1)/(n+2) - n/2
=lim[n→∞] (1/2)[n(n+1)/(n+2) - (n²+2n)/(n+2)]
=lim[n→∞] (1/2)[-n/(n+2)]
=-1/2

3、题目是否应为x→+∞？分子有理化
lim[x→+∞] [√(x+5) - √x]
=lim[x→+∞] [√(x+5) - √x][√(x+5) + √x]/[√(x+5) + √x]
=lim[x→+∞] 5/[√(x+5) + √x]
=0

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Answer 2

(1)用罗比达法则分子分母都求导：
lim x→4 ［[√（2x+1）-3]/√x-2］=lim x→4 ［[(2x+1)^(-0.5)]/(0.5*x^(-0.5))］=4/3.
(2)［ [(1+2+3+…n)/n+2]-n/2］=(1+n)n/(2n+4)-(2+n)n/(2n+4)=-n/(2n+4)
求极限得-1/2.
(3)[√(x+5)-√x]=5/[√(x+5)+√x]，所以求极限可得lim x→∞ [√(x+5)-√x]=0

Answer 3

1、直接取X=4，最后得根号3；
2、化简得 n(n+1)/2(n+2)-n/2 （n+1）/(2+2/n)-n/2,当n趋于无穷大时，减号两边级数一样，所以最后极限为0；
3、x趋于无穷大时，x+5和x级数一样，结果为0；

Answer 4

第一题4直接代入即可，第二题1+。。。。N可以利用求和公式，然后通分即可，第三题同时除以X，不懂的问我