1. 关于群的基本定义

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在数学的殿堂里，群是一个核心概念，它就像一座精密的构造，定义了秩序与结构。群是由二元运算规则定义的集合，这些规则保证了封闭性，即任何两个元素的运算结果仍在该集合内，同时结合律确保了运算的可组合性。群中的每个元素都拥有唯一的左单位元和左逆元，就像乐章中的调性和和弦，为运算赋予了和谐的框架。

符号约定的精简让群的表达更为简洁，比如乘法运算常常被省略。群的特征还包括其阶数，即元素的数量，这决定了群的性质是有限的还是无限的。一个重要的定理，重排定理，揭示了群在排列和组合中的深刻作用。

子群，是群的子集，它们自身也必须满足群的定义，保留了单位元和逆元的存在。特别地，循环子群是由特定生成元决定的，它们的阶数揭示了群的内部结构。群的同构性质，使得通过比较群元的阶数可以揭示它们在结构上的相似性。

陪集，如同群元素的变形版，是子群作用于群元素后的产物，陪集定理揭示了子群阶数与群阶数之间的重要联系，即子群阶数整除群阶数。等价关系如共轭，将群元素划分为共轭类，它们代表着群结构中的一个重要划分方式。

正规子群是特殊的子群，其内部的元素对所有群元素都保持交换性，这样的性质使得基于正规子群构建的商群，因其封闭性和结合律，仍然具备群的特性。正规化子和中心化子是子群的特定属性，群的中心，作为最大的中心化子，隐藏着群的内在核心秘密。

在群作用的探讨中，正规子群与陪集、正规化子的概念密切相关。直积，就像两个正规子群的完美融合，其元素可以唯一分解，体现出核心的结构特征。而半直积则更进一步，它将一个正规子群和一个普通子群的运算结合，展示出群的丰富多样性。

总的来说，群是数学中一种强大的抽象工具，它揭示了秩序与变换的美妙平衡，无论是基本定义还是深入性质，都充满了数学的魅力与深度。