若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得

Question

若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:必存在点ξ∈(0,1) 使得2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
（题目要求用拉格朗日中值定理）
求高手解答啊。我在线等

Answer 1

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]，使得 　　f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a) 拉格朗日中值定理的几何意义
所以：存在一点ξ，使得：
f'(ξ)*(1-0)=f(1)-f(0)=0
f'(ξ)=0
可令g(x)=x^2f(x)
g(0)=0 g(1)=f(1)=0
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导，g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导.
使得：g'(ξ)(1-0)=g(1)-g(0)=0
g'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)
g'(ξ)=2ξ(f(ξ)+f'(ξ)(ξ^2)=0
ξE(0,1)
所以同时除以ξ
2f(ξ)+ξf'(ξ)=0

Answer 2

先构造函数g(x)=x^2f(x),g'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)
容易验证g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导
并且g(0)=g(1)=0,那么由拉格朗日中值定理得，在(0,1)内必存在一点ξ,使得
g'(ξ)=(g(1)-g(0))/(1-0)=0
即2ξf(ξ)+ξ^2f'(ξ)=0
因为ξ≠0，所以两边同除以ξ得
2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
命题得证