将50本相同的书分给3个学生，每人至少1本，共有多少种不同的分法？

Answer 1

隔板法在解排列组合问题中的应用

隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考.

一、将 件相同物品（或名额）分给 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题

例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？

分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.

解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有 种不同的放法，再将小球放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数原理，共有 ×1=231种不同的方法.

点评：对 件相同物品（或名额）分给 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这 件物品分成 组，允许若干组为空的问题.将 件物品分成 组，需要 块隔板，将这 件物品和 块隔板排成一排，占 位置，从这 个位置中选 个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有 种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有 ×1= 种排法,因 块隔板将 件相同物品分成 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有 种分法.

二、将 件相同物品（或名额）分给 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题

例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？

分析：本题是名额分配问题，用隔板法.

解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有 种不同的放法，根据分步计数原理，共有 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有 种分法.

点评：：对 件相同物品（或名额）分给 个人（或位置），每个人（或位置）必须有物品问题,可以看成将这 件物品分成 组，每组不空的问题.将 件物品分成 组，需要 块隔板，将这 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这 件物品之间的 空档中选取 个位置放隔板，占 位置，从这 个位置中选 个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1× = 种不同排法,因 块隔板将 件相同物品分成 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有 种分法.

对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握。

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Answer 2

这种问题有个隐含条件：书全部分完。如果没有这个条件，答案就会更多。

用隔板法。设想50本书排成一列，中间有49个空位，拿两个木板任意放入其中两个空位里，
可以看出，每种放法对应书的一种分法，所以共有 C(49，2)=49*48/2=1176 种分法。

Answer 3

z这不是以前高中的排列组合吗？C上面是3，下面是50，得出结果50X49X48/3X2X=19600，没算错的话

Answer 4

先从50本书中取出三本分给3个学生，有C(50在下，3在上）=(50+49+48)/(3*2)=19600；
再将剩下的47本书分给三个同学，一本书可以有3种分法，即总共有47的3次方=103823；
根据分步计数原理，共有19600*103823=2034980300种不同的分法

Answer 5

C(50,2)=1176