已知函数f(x)=lnx-[(1/2)ax^2]+x,a∈R(1)求函数f(x)的单调区间(2)是否存在实数a,...

Question

已知函数f(x)=lnx-[(1/2)ax^2]+x,a∈R(1)求函数f(x)的单调区间(2)是否存在实数a,使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围。若不存在，说明理由
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Answer 1

已知函数f(x)=lnx-[(1/2)ax^2]+x,a∈R(1)求函数f(x)的单调区间(2)是否存在实数a,使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围。若不存在，说明理由
(1)解析：∵函数f(x)=lnx-a/2x^2+x，其定义域为x>0
当a=0时，f(x)=lnx+x，显然单调增；
当a>0时，令f’(x)=1/x-ax+1=0==>x=[1+√(4a+1)]/(2a)
f’’(x)=-1/x^2-a<0
∴f(x)在x=[1+√(4a+1)]/(2a)处取极大值；
∴x∈(0, [1+√(4a+1)]/(2a)]，f(x)单调增；x∈[[1+√(4a+1)]/(2a),+∞)，f(x)单调减；
当a<0时，f’(x)>0，f(x)单调增；
(2)解析：由(1)可知，函数f(x)在a>0时，存在极大值
F([1+√(4a+1)]/(2a))>0
解此不等式比较麻烦 a<2

当x=1时，令f(1)=1-a/2=0==>a=2
又令[1+√(4a+1)]/(2a)=1==>a=2
由函数图像可知
∴当0<a<2时，函数f(x)的极大值>0

Answer 2

（1）f'(x)=1/x-ax+1=(-ax^2+x+1)/x
a=0时，f'(x)=(x+1)/x>0恒成立，
f(x)递增区间为定义域(0,+∞)
a<0时，t=-ax^2+x+1为开口朝上的抛物线
对称轴 x=1/(2a)<0, x=0,t=1
x>0，t>1>0恒成立，f(x) 当x>0时，递增
a>0时，f'(x)>0,x> 0 即-ax^2+x+1>0 ,x>0
即ax^2-x-1<0 ===> 0< x< [1+√(1+4a)]/2
f'(x)<0,x>0 ==> x> [1+√(1+4a)]/2
综上所述
当a≤0时，f(x)递增区间为（0，+∞）

当a>0时，f(x)递增区间为（0， 1/2+√(1+4a) /2）
f(x)递减区间为 （ 1/2+√(1+4a) /2 ， +∞）

Answer 3

高一的吗？

Answer 4

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/f5a24b3e-bb49-44e4-81d5-ab1daf0ee9fe