如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点D为BA延长线上一点．∠DCE=90°，CD=CE，连接BE，点F在DE上，∠C

Question

如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点D为BA延长线上一点．∠DCE=90°，CD=CE，连接BE，点F在DE上，∠CBF与∠CDA互余．（1）如图1，求证：CD=2BF；（2）如图2，设CE交AB于点G，连接AF，若CG=2，BE=AF，求DE长．

Answer 1

（1）证明：如图1，
∵∠DCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠ECB．
在△DCA和△ECB中

CD＝CE ∠DCA＝∠BCE AC＝BC

，
∴△DCA≌△ECB，
∴∠DAC=∠CBE．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CAD=∠CBE=135°，
∴∠DBE=90°．
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵∠CBF+∠CDA=90°，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FD=FB，
∵∠DBE=90°，
∴∠BDF+∠DEB=90°，∠DBF+∠FBE=90°，
∴∠FBE=∠FEB，
∴FB=FE，
∴DF=EF，
连接FC，
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴CD=DF=EF，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∵DC²=CF²+DF²，
∴DC=

2

CF=

2

BF；

（2）解：由（1）中△CDA≌△CEB，
∴DA=BE，
∵BE=AF，
∴AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
在△DCF中，∠DFC=90°，DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD=45°，
∵∠CAB=∠ADC+∠DCA=45°，
∴∠CDF=∠ADC+∠ADF=45°，
∴∠ADF=∠DCA，
作∠CDR=∠ADF，点R在CA上，由∠CDR=∠ADF=∠DCR=∠AFD，
∴△DCR∽△DFA，
∴

CD

DF

=

DR

DA

，
在Rt△CDF中，CD²=DF²+CF²，
∴CD=

2

DF，
∴DR=

2

DA，
设DA=x，则DR=

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