高数一道 麻烦给下过程 设曲面∑为柱面x^2＋y^2＝1介于平面z＝0与z＝1部分的外侧，则曲面积分

Question

高数一道 麻烦给下过程
设曲面∑为柱面x^2＋y^2＝1介于平面z＝0与z＝1部分的外侧，则曲面积分∫∫(∑)（x^2＋y^2）dxdy＝?
∫∫（∑）(x^2＋y^2)dS＝?
帮忙解释下有什么区别，答的好可以加分哦
那个圆柱的侧面积有办法用积分算么？
不然被积函数不是1时怎么积分

Answer 1

第一个是对坐标的曲面积分，dxdy=dScosγ=0，即曲面在xoy平面投影为零，所以积分值为0
第二个是对面积的曲面积分，因为x^2+y^2=1,所以被积函数化简为1，此时，就是圆柱体的侧面积，即为2π*1*1=2π，所以第二个积分值是2π。
区别就在于：dxdy就是指dS在xoy平面的投影分量；而dS则必须在投影不为零时，才能投，如果投影到xoy面，那么会出现dS=dxdy/cosγ,而cosγ=0,又因为分母不能为零，所以，它不能投到xoy平面。

追问

那个圆柱的侧面积有办法用积分算么？
不然被积函数不是1时怎么积分

追答

可以，你就投影到yoz面，分两部分，一前一后，算一个即可，然后乘以2

追问

我试过一下了的，比如圆柱曲面方程是X^2+Y^2=R^2,z=0到z=1,投影后相当于∫∫dxdz/√(1-(x/R)^2)积分出来是π啊，跟它的实际面积2πR不同，这是怎么回事？？

追答

那只是一半的面积，还得乘以2

追问

不是的，是2πR,不是2π，π乘2也只是2π而已,上面那题R=1可能碰巧对，但如果R不是1就不对了，我不知道那个R怎么积出来的

追答

看图，你算错了