若实数X,Y满足X²+Y²+XY=1,则X+Y的最大值是 拉格朗日 对称法怎么做

Answer 1

拉格朗日乘数法吧。
条件:x²+y²+xy-1=0
构造拉格朗日函数:令f(x,y)=x+y+λ(x²+y²+xy-1)=0
两边分别对x,y,λ求偏导，得到方程组:
1+λ（2x+y）=0
1+λ（2y+x）=0
x²+y²+xy-1=0
1式2式联立消去λ可得:
x=y
代入3式解得:
x=y=√3/3
或x=y=-√3/3
点（√3/3，√3/3）以及(-√3/3，-√3/3)是驻点，不一定是极值点，但是x+y的最值一定存在，所以这些个驻点都是极值点。
所以x+y最大值为:2√3/3

Answer 2

设x+y=t，代入条件式得
x²+(t-x)²+x(t-x)=1，
即x²-tx+t²-1=0.
显然，上式别式△≥0，
∴(-t)²-4(t²-1)≥0，
解得，-2/√3≤t≤2/√3.
故所求最大值(x+y)max=2/√3；
所求最小值为(x+y)min=-2/√3。

追问

对称法

追答

我用的是最初等的解法！
用高等数学方法(拉格朗日乘数法)虽不用花脑筋照套，但求驻点时运算量太大！

杀鸡并非一定要用牛刀！

当然，也可以用均值不等式法:
1=ⅹ²+y²+xy
=(x+y)²-xy
≥(x+y)²-[(ⅹ+y)/2]²，
∴(x+y)²≤4/3，
即-2/√3≤x+y≤2/√3.
因此，
(x+y)max=2/√3，
(x+y)min=-2/√3。

追问

我知道你的方法，我想了解其他