高一数学必修2在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD垂直于底面ABCD,PA=PD=AD=AB=2,DC=1,底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD

Question

BAD=90度。（1）求证：PC⊥BD
（2）求点A 到平面PBC 的距离。

Answer 1

（1）设AD中点为E，联结PE。在等边三角形PAD中（PA=PD=AD），PE⊥AD，则PE⊥底面ABCD,PE=根号3。联结CE，则CE为PC在底面ABCD上的射影，CE与BD交于F点。三角形DAB和三角形EDC都是等腰直角三角形（BAD=90度，AB∥CD则EDC=90度；ED=DC=1,AD=AB=2）,所以角ADB＝角DEC＝45度。所以三角形DFE中，角DFE＝180度－角ADB－角DEC＝90度，即DB⊥CE。由此可推出PC⊥BD（注解：射影定理：直线1与直线2的射影在同一平面内，若直线1与直线2的射影相垂直，必然也垂直于直线2）。同理，根据射影定理亦可证明PA⊥AB，PD⊥DC。
（2）设点A 到平面PBC 的距离为h。根据体积的等积法，可得1/3×四边形ABCD的面积×高PE＝1/3×三角形PBC的面积×高h。在等腰直角三角形PAB（因为PA=AB＝2）中，PB＝根号(2^2+2^2)=2根号2；在直角三角形PDC中，PC＝根号(2^2+1^2)=根号5。在直角梯形ABCD中，BC=根号[AD^2+(AB-DC)^2]=根号[2^2+(2-1)^2]=根号5。所以三角形PBC是等腰三角形，其面积等于＝1/2×2根号2×根号(根号5^2-根号2^2)=根号6。四边形ABCD的面积＝1/2×(1+2)×2=3。代入等积公式，即1/3×3×根号3＝1/3×根号6×h，得到：h=3/2×根号2。

Answer 2

空间向量 可秒