已知等比数列{an}中，a2=2，a5=128，若bn=log2an，数列{bn}前n项的和为Sn．（Ⅰ）求数列{bn}的前n项和Sn

Question

已知等比数列{an}中，a2=2，a5=128，若bn=log2an，数列{bn}前n项的和为Sn．（Ⅰ）求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅱ）求不等式Sn＜2bn的解集．

Answer 1

（I）在等比数列{a_n}中，由a₅=a₂q³，又a₂=2，a₅=128，q³=64，
∴q=4，∴a_n=a₂q^n-2=2?4^n-2=2^2n-3，
∴b_n=log₂a_n=log₂2^2n-3=2n-3．b_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2?1-3）+（2?2-3）+（2?3-3）+…+（2?n-3）
=2（1+2+3+…+n）-3n=n²-2n
（II）由S_n＜2b_n，得n²-2n＜2（2n-3），即n²-6n+6＜0，
∴3?

3

＜n＜3+

3

又n∈N^*，
∴n=2，3，4
故原不等式的解集是{2，3，4}