高一数学：基本不等式的一正二定三相等

Question

已知正数x、y满足xy=x+y+3 则xy的取值范围是
解：
x+y =xy-3 ≥2√(xy)
令√（xy）=t
则有 t^2-2t -3≥ 0
（t+1)(t-3) ≥0
即 t≥3 （舍去t≤-1）
即 xy=t^2 ≥9
可是“x+y =xy-3 ≥2√(xy)”这里x+y和xy都是未知的，不满足用基本不等式求最值时的“二定”啊
求大侠详解……谢谢！！！

Answer 1

解答：
基本不等式的一正二定三相等
是指在直接使用基本不等式求最值时，需要考虑的问题
此时不等式的两边，一边是需要求最值的解析式，一边是一个常量。

而本题中，是借助基本不等式，得到关于xy的一个不等式，然后解此不等式。
“x+y =xy-3 ≥2√(xy)” 这一步，等号当x=y时成立
从这儿没有直接得出xy的最值，所以，不需要是定值
然后，是解一个一元二次不等式。此时，求最值的方法，就不是基本不等式了。

Answer 2

由于x+y ≥2√(|xy|)，即当x,y相等时，x+y有最小值
在x+y =xy-3中，当x+y取最小值时，同时满足原式，则为xy=x+y+3情况下xy的最小值
把x=y带入x+y =xy-3，得2x=x^2-3,得到，x=3(舍去x=-1),得到xy的最小值为9

法2：x+y =xy-3中，由于x、y是正数，得出xy-3，xy>3,
两边平方得x^2+y^2+2xy=(xy)^2-6xy+9,推出x^2+y^2=(xy)^2-8xy+9 ≥2xy
整理得(xy)^2-10xy+9 ≥0,得出xy≥9，或1≥xy（因为xy>3，所以舍去1≥xy）

Answer 3

记住就行了。