高数 迈克劳林展开式 级数 收敛域 高等数学

Question

求x^4/(1-x^2)的迈克劳林展开式为，， 收敛域是，，？

迈克劳林展开式是什么？，求详细求解过程，~谢谢，~

n=2到无穷∑x^2n (-1,1)

为何n从2开始~？

Answer 1

∑[n=2, ∞](x^2)^n 这是等比数列求和. 换元 x^2 = t，级数变为：
∑[n=2, ∞] t^n 收敛半径的计算公式：
R = 1 / lim[n->∞] sup (| a[n] |)^(1/n)
这里，系数 a[n] = 1，所以收敛半径为1. 且t = 1的时候是发散的.
所以，级数的收敛域为：x^2 < 1 => x ∈ (-1,1) .
利用等比数列求和公式：
∑[n=2, ∞](x^2)^n = x^4 / (1 - x^2).

Answer 2

简单说：迈克劳林展开式就是x的幂级数
x^4/(1-x^2)

因为：1/(1-x^2)=∑(0, ∞)(x^2)^n ( |x^2|<1，即|x|<1)
当|x|=1时，级数发散
所以：
x^4/(1-x^2)=x^4∑(0, ∞)(x^2)^n=∑(0, ∞)x^(2n+4) （ |x|<1)

n=2到无穷∑x^2n (-1,1) ，怎么可能? 你怎么老是来一些错的答案？