设y=x^2x 则y ' =?

Question

下列等式成立的是
A ∫f ' (x)dx=f(x) B ∫df(x)=f(x) C d∫f(x)dx=f(x) D d/dx∫f(x)dx=f(x)
d/dx∫ x^2f(x^3)dx=?

Answer 1

我看楼主问的是3道题吧……以后把题号标清楚，这样别人好看一点，也是对回答者的尊重。
①第一题完全是求导题目。这种底数指数都有x的情况没有现成的公式可以处理，一般有两种做法，一种是转化成复合函数，另一种是转化为隐函数。我详细说第一种。x^2x实际上是e^(ln(x^2x))这个应该好理解，也就是e^(2xlnx)。这样子就把问题转化为符合函数求导了，符合函数是e^u，u=2xlnx。按照符合函数的求导法则，是(e^u)'=e^u×u'=e^u×(2xlnx)'=e^u×(2+2lnx)
把u写出来，也就是原函数的导数是e^(2xlnx)×(2+2lnx)，即y=x^2x，y'=x^2x×2(1+lnx)。
隐函数就是对两边取ln，得到lny=2xlnx，这就变成了隐函数（是y、x的一个式子，并不是等号左边只有y），对两边求导，左边用复合函数求导法，得到一样的结果。

②考的微分和积分互为逆运算的关系。其实容易错的就一点，要记住不定积分算出来的结果永远是一组函数，它们之间彼此相差任意常数C；但是微分结果是一定的，不会出来常数C。你仔细看看，不管形式如何，A、B都是不定积分运算，最后结果确定了，没出现任意常数C，就是错的；C、D都是微分运算。C是求微分，微分的定义是导数乘以x的微元dx，也就是算出来的结果是一个函数的微元，但是你答案后面是个函数，丢掉了微元dx，正确写法应该是d∫f(x)dx=f(x)dx。D是求导，正确，∫f(x)dx根据定义就是f(x)的原函数集合，求导就得f(x)。

③这个完全就考求导和不定积分的互逆关系。不管被积分的函数如何复杂，不定积分一次再求一次导，永远回到自身。这里面就是x^2f(x^3)这个函数积一次分，再求一次导，答案肯定是它自身，等于x^2f(x^3)。

Answer 2

y=x^2x

lny=2xlnx
y'/y=2lnx+2
y'=x^2x(2lnx+2)

成立的是：D

d/dx∫ x^2f(x^3)dx=x²f(x³)