初三数学题在线等已知二次函数y=x²+ax+a-2证明：不论a取何值，抛物线y=x²+ax+a-

Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2
(1)证明：不论a取何值，抛物线y=x²+ax+a-2的顶点Q总在x轴的下方
(2)设抛物线y=x²+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的焦点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，求出相应的二次函数解析式，若不能，说明理由。
过程，谢谢

Answer 1

证明：（1）：∵判别式△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点．
又∵抛物线开口向上，
∴抛物线的顶点在x轴下方．
或由二次函数解析式得：y=（x+
a
2
）2-
1
4
a2+a-2．
∵抛物线的顶点坐标-
1
4
a2+a-2=-[
1
4
（a-2）2+1]＜0，
当a取任何实数时总成立．
∴不论a取任何值，抛物线的顶点总在x轴下方．
（2）由条件得：抛物线顶点Q（-
a
2
，-
1
4
a2+a-2），点C（0，a-2），当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线交于另一个点D，此时CD=|-a|，点Q到CD的距离为|（a-2）-（-
1
4
a2+a-2）|=
1
4
a2，自Q作QP⊥CD，垂足为P，要使△QCD为等边三角形，则需QP=

3

2
CD，
即
1
4
a2=

3

2
|-a|，
∵a≠0，
∴解得a=±2
3
，（或由CD=CQ，或由CP=
1
2
，CQ等求得a的值），
∴△QCD可以是等边△，
此时对应的二次函数解析式为y=x2+2
3
x+2
3
-2或y=x2-2
3
x-2
3
-2．

Answer 2

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