复合函数中的数学问题。

Question

什么是复合函数，我听谁说过什么内层函数外层函数的，到底是什么意思？还是就是复合函数的单调性该怎么求啊？求高手，在线等。满意加分。

Answer 1

复合函数的定义：若y=f(μ)，又μ=g(x)，且g(x)值域与f(μ)定义域的交集不空，则函数 f[g(x)] 叫的复合函数，其中y=f(μ)叫外层函数，μ=g(x)叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。如y=log(1/2) (x²+4x+4)，令y= log(1/2) u（外层函数），u= x²+4x+4（内层函数）ps:1/2为底数。
判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)利用定义法或者导数法判断每个常见函数的单调性（f'(x)＞0，求得的x范围为单调递增区间；f'(x)＜0，求得的x范围为单调递减区间，）；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性（内外层函数“同增异减”）。

望采纳，若不懂，请追问。

Answer 2

复合函数：
设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。

内层函数、外层函数，就不罗列定义给你了，举个例子：
比如说这种y=(3x+5)²
这个就是复合函数
它可以看作是y=x² 和y=3x+5
也就是一次函数 和指数函数的复合函数

单调性如何求，可以分开求内层外层函数的单调性
复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性
（1）如果两个都是增的,那么函数就是增函数
（2）一个是减一个是增,那就是减函数
（3）两个都是减,那就是增函数

Answer 3

举一个简单的例子：f(x)=x^2+x+1，g(x)=x+2
所谓的复合函数f(g(x))，就是用g(x)去代替f(x)里面的x，也就是
f(g(x))=[g(x)]^2+g(x)+1
=(x+2)^2+(x+2)+1
这时候f( )就是外层函数，g( )就是内层函数

单调性问题：
就假设f(x)是单调增好了，这时候随着x值的增大，f( )的值是增大的
作为复合函数f(g(x))的外层函数来说，就是随着g( )值的增大，f( )的值是增大的

如果g(x)也是单调增的，那么随着x值的增大，g( )值会增大。而由于g( )的值增大，f( )的值就会增大，所以，当x增大时，f(g( ))的值增大，也就是说f(g(x))是增函数。

而如果g(x)是单调减的，那么随着x值的增大，g( )值会减小。而由于g( )的值减小，f( )的值就会减小，所以，当x增大时，f(g( ))的值减小，这时候f(g(x))就是减函数。

Answer 4

内层，外层，同单调性则增，异单调性则减。
如：y=2^(x^2+1)
外层是，y=2^u在定义域上是增函数，
内层是，u=x^2+1在（-无穷，0）上减，在（0，+无穷）上增
∴函数y（-无穷，0）上减 ，在（0，+无穷）上增

Answer 5

复合函数就是有外函数和内函数，比如f(g(x))，则g(x)是内函数，f(x)为外函数。
当内函数和外函数单调性一致时，函数为单调增，内外不一致，函数单调减。

Answer 6

设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。u=g（x）称为内层函数，y=f（u）为外层函数。单调性可借鉴乘法法则，同号为正，异号得负。即u=g（x）是增函数，y=f（u）也是增函数，则y=f[g(x)]
为增函数。如：y=-u+1，u=x^2,当x<0时，u单调递减，而当u增大时，y单调递减，所以x<0是y的单调递增区间；当x>0时，u单调递增，而当u增大时，y单调递减，所以x>0是y的单调递减区间。即增增还是增，减减复合也是增，增减、减增都是减