刘老师，您好，向您请教求线性子空间的维，基及线性变换的问题，谢谢。 希望有详细的解题步骤，谢谢。

Answer 1

(1) 因为实数上上三角矩阵的和与数乘仍是上三角矩阵
所以U(略)是子空间
(2) 维数是3,
A1=[1,0;0 0], A2=[0,1;0,0], A3=[0,0;0,1]
线性无关且任一U中矩阵可由其线性表示
(3) T(A1)=A1
T(A2)=A2
T(A3)=2A2-A3
T在基A1,A2,A3下的矩阵A为
1 0 0
0 1 2
0 0 -1
(4) A的特征值为1,1,-1
因为 r(A-E) = 1
所以A可对角化

追问

谢谢您，刘老师，不好意思，还得问一下：
1）第（2）条里，是不是因为本题是上三角矩阵，应该是A4=[0,0,0,1]，至于A3=【0，0，1，0】没有了。因为A1，A2，A4线性无关，所以是三维，同时也是基。
2）请问第（3）的核ker 和值域该怎么求呢。
应为将A化成阶梯阵后 r（A）=3, 所以其基础解系为（0，0，0），所以ker 我就不知道该怎么表达了，还有同类题目（r=n）都有这种问题。
3）第（4）我还不太理解，能告诉我吗

追答

1) 是这样, 编号无所谓
2) T是可逆变换, 核为0, 值域为U
3) 2重特征值1有 3-r(A-E)=2 个线性无关的特征向量, 故可对角化

追问

1）比如A是3阶矩阵对角矩阵，请问AX=0的基础解系怎样写？
2）设A=（a1，a2，a3）；a1=(1,0,0)", a1=(0,2,0)", a1=(0,0,3)", ,C(A)={X|AX=XA,X 数域R}，还是求维数和基。3）线性变换T=AXA，求T在2）中所取基的矩阵。并求ker（T）和值域R（T）
太麻烦您了。。

追答

对U中任一矩阵[a b;0 c] = aA1+bA2+cA3 = (A1,A2,A3)(a,b,c)^T
所以 T[a b;0 c] = T(aA1+bA2+cA3) = T[(A1,A2,A3)(a,b,c)^T]
= T(A1,A2,A3)(a,b,c)^T
= (A1,A2,A3) A(a,b,c)^T

若 [a b;0 c] 属于核, 则 T[a b;0 c] =0, 故 A(a,b,c)^T=0.
而 r(A)=3, AX=0 只有零解, 所以 a=b=c=0
故核为{0}.

又由A可逆
对U中任一矩阵 [a b;0 c] = (A1,A2,A3)(a,b,c)^T
T[(A1,A2,A3)A^-1(a,b,c)^T] = (A1,A2,A3)AA^-1(a,b,c)^T = (A1,A2,A3)(a,b,c)^T = [a b;0 c] .
所以T的象为U.

追问

不知1，2）中我的计算是否正确：
AX=0的基础解系（0，0，0）；
dim（C（A））=3，
基：(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T;
T=(1,0,0
0,4,0
0,0,9)
ker(T)={0}
值域为U.

thanks

来自：求助得到的回答