高等数学-证明题- 中值定理 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a))
f(x),g(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 证明存在ξ∈(a,b) 使得 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)).
则F(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)
F(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0
∵f(x),g(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导
∴F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导
∴存在ξ∈(a,b) 使得[F(b)-F(a)]/(b-a)=F'(ξ)
整理后即得所证
设H(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a);
H(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a);
H(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0;
由中值定理可得:
存在ξ在区间（a，b）内的一实数,使得
H(b)-H(a)/b-a=f(a)g(b)-f(b)g(a)/b-a=H‘(ξ)成立;
两遍同乘以因子b-a;
f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)
得证
主要就是函数H(x)的确定，微积分中值定理、柯西定理等，是考研的一个难点，陈文灯的高数一本书，对这些内容讲解很好，可以参阅
[f(a)-f(b)]/(a-b)=f'(ξ);[g(a)-g(b)]/(a-b)=g'(ψ);
f(a)=(a-b)f'(ξ)+f(b)=f(b)-(b-a)f'(ξ);
g(a)=(a-b)g'(ψ)+g(b)=g(b)-(b-a)g'(ψ);
f(a)/g(a)=[f(b)-(b-a)f'(ξ)]/[g(b)-(b-a)g'(ψ)]
f(a)[g(b)-(b-a)g'(ψ)]=g(a)[f(b)-(b-a)f'(ξ)];
f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)[f(a)g'(ψ)-f'(ξ)g(a)]
当ψ=ξ时，f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)[f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)]本回答被网友采纳
...f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a))
F(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0 ∵f(x),g(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导 ∴F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导 ∴存在ξ∈(a,b) 使得[F(b)-F(a)]\/(b-a)=F'(ξ)整理后即得所证 ...
高等数学中值定理,需要做辅助函数
1、令F(x)=f(a)g(x)--g(a)f(x)，则F'(x)=f(a)g'(x)--g(a)f'(x)，对F用中值定理，存在c位于（a，b），使得F(b)--F(a)=(b--a)F'(c)，此为要证等式。2、Taylor展式，记c=(a+b)\/2，则 f(b)=f(c)+f'(c)(b--c)+f''(a1)\/2*(b-c)^2=f(c)+f'...
求解,高等数学,微分中值定理
或：-(f(ξ)-f(a)))g′(ξ)+(g(b)-g(ξ))f′(ξ)=0 注意左边类似乘积的导数：1个是(f(x)-f(a))，导数为f'(x)，另一个是g(b)-g(x),导数为-g′(x)就这么简单。
高等数学,泰勒公式,两处划线部分怎么来的,虽然这个题不要求掌握,但是弄...
第一个横线处：泰勒中值定理就是说，如果f(x)，g(x)导数都存在，那么对于[f(b)-f(a)]\/[g(a)-g(b)]这样形式的值，一定在区间[a,b]内，存在一个ξ使得上式的比值等于该点导数的比值，也就是f`(ξ）\/g`(ξ）；所以第一个等号就是构建f(b)-f(a)这样的形式，因为f(x0)=0，所以...
高数中值定理
点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。理问题可以化为...
高等数学 微分中值定理
简单分析一下，详情如图所示
高等数学 中值定理。不明白,橘黄色区域的作用? f(x)不等于0,这是第一...
首先对于柯西中值定理，有函数f(x),g(x)在 [a,b]连续，(a,b)可导，若对于x∈(a,b)内g'(x)≠0 有f(b)-f(a)\/g(b)-g(a)=f'(α)\/g'(α)橘红色区域的f(x)≠0，是在满足柯西中值定理的第三个条件。因为分母中是一个变限积分，变限积分的导数是f(x)。
高数证明题
F'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)由罗尔中值定理得：在(a，b)内，至少存在一点ξ，使得 F'(ξ)=[F(b)-F(a)]\/(b-a)=(0-0)\/(b-a)=0 F'(ξ)=f'(ξ)·g(ξ)+f(ξ)·g'(ξ)因此f'(ξ)·g(ξ)+f(ξ)·g'(ξ)=0 即：f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)=0...
高等数学-拉格朗日中值定理的多种证明方法
这个定理蕴含的推论犹如数学海洋中的明珠，熠熠生辉：推论1：<\/当 f 在闭区间端点处的函数值相等时，至少有一个 c 使得 f'(c) 等于零。推论2：<\/若 f 在 [a, b] 上连续且有界，那么至少存在一个 c，使得 |f'(c)| 不大于 f(b) - f(a) 除以 b - a。推论1的证明<\/，我们可以从...
高等数学的基本定理有什么?
高等数学的基本定理有很多，以下是其中一些重要的定理：1.勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。2.中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)\/(b-a)。3.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间...
