已知函数f(x)=1/2ax^2+lnx,其中a∈R。

Question

1,求f(x)的单调区间
2，若f(x)在（0,1]上的最大值是-1，求a的值

Answer 1

解：1、f(x)=1/2*ax^2+lnx
定义域为x＞0
f'(x)=ax+1/x
若a≥0，则有f'(x)=ax+1/x＞0，f(x)单增，单增区间为(0,+∞)；
若a<0，则解f'(x)=0得x=√(-1/a)
f''(x)=a-1/x^2<0
故f[√(-1/a)]为极大值。分析易知f[√(-1/a)]为最大值。
则当0＜x≤√(-1/a)时，f'(x)≥0，f(x)单增；
当x>√(-1/a)时，f'(x)<0，f(x)单减。
2、若a≥0，则f(x)单增，故有-1=f(1)=a/2+ln1，解得a=-2<0，矛盾。
则a<0。
于是：
当√(-1/a)≥1时，也即-1≤a<0时，f(x)在（0,1]上的最大值是f(1)=a/2=-1，解得a=-2，矛盾；
故√(-1/a)<1。也即a<-1。则f(x)在（0,1]上的最大值是f[√(-1/a)]=1/2*a*[√(-1/a]^2+ln[√(-1/a]=-1
也即
-1=-1/2-1/2*ln(-a)
解得a=-e。显然a=-e<-1，满足题意。

Answer 2

1.f(x)求导=（ax^2+1)/x,由lnx可得定义域为x>0,其中ax^2+1过定点（0,1）对称轴为y轴，只需判断（ax^2+1)的正负，分a=0，a>0,a<0讨论。
2.由1得a>=0时f（x)单调增，f（1）=-1，当a<0时，比较1与f（x）导数为0的x的关系，判断在（0,1）内f（x）的变化情况为单调增或者先增后减，代入计算。