已知函数f(x)=lnx+a/x (a＞0)（1）当a=1时 求函数f(x)的单调区间 （2）求函

Question

已知函数f(x)=lnx+a/x (a＞0)（1）当a=1时 求函数f(x)的单调区间 （2）求函数f(x)在 [ 1，+∞ ）上的最小值 (3)证明Κ任意a∈(0,1)f(a²/2)＞a³/2

Answer 1

(1)f(x)=lnx+1/x
f'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x
x<1时，f'(x)<0,函数递减：x>1时，f'(x)>0,函数递增
(2)f(1)=1
(3)f(a²/2)=2lna-ln2+2/a=左
由(1)，(2)知,2lna+2/a》2，故 左 的最小值为2-ln2
而a³/2最大值为1/2,小于2-ln2。（注意说明取值范围）

追问

有详解吗

Answer 2

f'(x)=1/x-a/x^2   a=1,f'(x)=(x-1)/x^2  x>=1 单调递增， 0<x<1 单调递减

x>=a 单调递增， 0<x<a 单调递减

 a>=1时 最小值为f(a)=lna+1

  0<a<1时 最小值为f(1)=a

任意a∈(0,1)f(a²/2)＞a³/2
g(x)=f(x)-ax  x=a²/2<1/2  x∈(0,1/2)

g'=1/x-a/x^2-a=(-ax^2+x-a)/x^2   

       a>=1/2,g'<=0单调递减 g(a²/2)>g(1)=0

       当a<1/2时，

      x>x2=[1+(1-4a^2)^0.5]/2a, x<x1=[1-(1-4a^2)^0.5]/2a,单调递减 

     x1>1/2a>1, x∈(0,1)为单调递减 函数

则有 g(a²/2)>g(1)=0

   综上f（a²/2）-a^3/2>0

Answer 3

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