2∫[0→1/2] xf(x) dx=2*ηf(η)*(1/2)=ηf(η)=f(1)
令g(x)=xf(x),则g(η)=ηf(η)=f(1),g(1)=f(1)
因此g(x)在[η,1]内满足罗尔中值定理条件,
即存在ξ∈(η,1),使g'(ξ)=0,且g'(x)=f(x)+xf '(x)
因此：g'(ξ)=0即：f(ξ)+ξf '(ξ)=0.证毕
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f(x)二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,f'(0)=f'(1)=0,证明存在x属于(0,1...
题目有误，应该是存在x属于(0,1),使得|f''(x)|>=2。否则很容易举反例。证明：由Taylor展开可知：f(1\/2)=f(0)+f'(0)*(1\/2 -0)+f"(p)*(1\/2 -0)^2 （p属于(0,1\/2)）f(1\/2)=f(1)+f'(1)*(1\/2 -1)+f"(q)*(1\/2 -1)^2 （q属于(1\/2,1)）两个相减，带入...
f(x)在[0,1]上有二阶导数且 f(0)=f(1)=f'(0)=f'(1)=0.证明:存在ξ∈(0...
f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+f''(a)x^2\/2 f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+f''(b)(1-x)^2\/2 x相减得：0=f'(x)+f''(b)(1-x)^2\/2-f''(a)x^2\/2 |f'(x)|=|f''(b)(1-x)^2\/2-f''(a)x^2\/2|《0.5M((1-x)^2+x^2)现考虑g(x)=((1-x)^2+x^2),g...
...有二阶连续导数,f(0)=f(1)=0,且当x属于(0,1)时,f
对任意x属于[0，1]，|f'(x)|=|f'(x)-f(0)|=|f''(€)x|<=ax（中值定理）同理可得|f'(x)|<=a(1-x)把两式相加再同除以二得结果
若f(x)在〔0,1〕上有二阶导数,且f(1)=0,设F(x)=x^2f(x),证明:在(0,1
∴F(0)=0*f(0)=0, F(1)=f(1)=0。由罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点ξ1，使F'(ξ1)=0又F'(x)=f(x)+xf'(x)。且f(0)=f(1)=0。∴F'(0)=f(0)+0*f'(0)=0。∴F'(0)=F'(ξ1)=0。∴由罗尔定理知在(0,ξ1), 即(0,1)内至少存在一点m，使F''(m)=0。
设f(x)具有二阶连续导数,且f′(0)=0, lim x→0 f″(x) \/x =1,则...
比如f(x)=x^4 ,有f ′(0)=f ′′(0)=0 但在 x=0 处显然是取极小值.就这题而言：因lim(x→0)f ′′(x)\/ |x| =1 ,由局部保号性有,存在一去心邻域U° (0,δ),使得对在这个去心邻域内有 f ′′(x)\/ |x| > 1 \/ 2 所以有f ′′(x)> |x| \/ 2 >0 ,而由连续...
若f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=f(0)=0,F(x)=x^2f(x),证明在(0,1...
F(x)=x^2f(x)F(0)=0 F(1)=0 所以在(0,1)内至少有一点ξ1,使得F'(ξ1)=0。F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)F'(ξ1)=0 F'(0)=0 所以在(0,ξ1)内至少有一点a,使得F''(a)=0。就是两次运用罗尔定理
已知f(x)在【0,1】上具有二阶导数且f(0)=f(1)=0设F(x)=xf(x)证明:在...
对区间[0.1\/2]和区间[1\/2,1]用拉格朗日定理 F(1\/2)-F(0)=1\/2 F`(ξ1) ξ1属于(0,1\/2)F(1)-F(1\/2)=1\/2F`(ξ2) ξ2属于(1\/2,1)两式相加的F`(ξ1)+F`(ξ2)=0 则F`(ξ1)*F`(ξ2)<=0 所以F``（x）=0有实数根 ...
若f(x)有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,lim(x→0)[f(x)\/x]...
=[(f(x)-f(0))\/(x-0)]→0（x→0）即f'(0)=0 因为f(0)=f(1)=0,根据罗尔中值定理在（0,1）内至少存在一点ξ1,使f'(ξ1)=0 有因为f'(0)=f'(ξ1)=0 而f(x)一阶导数连续可导 又满足罗尔中值定理 所以在（0,ξ1）即（0,1）内至少存在一点ξ,使f''(ξ)=0 ...
设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数,且f(1)=0,若F(x)=x2f(x),则在(0,1...
【答案】：由F(x)=x2f(x)，得F(0)=F(1)=0．根据题设知，F(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点c∈(0，1)，使F'(c)=0．又F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)，F'(0)=0对F'(x)在[0，c]上应用罗尔定理，则至少存在一点ξ，使F"(ξ)=0．
f(x)在【0,1】上二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,f(x)在0的导数等于1,在1的...
又由lim{x → 0} f(x)\/x = 1 > 0, 根据极限保序性, 存在0 < s < 1使f(s)\/s > 0, 进而有f(s) > 0.同理, 由lim{x → 1} f(x)\/(x-1) = 2可得f(1) = 0, 且存在0 < t < 1使f(t) < 0.而f(x)在[0,1]连续, 由介值定理, 存在ξ ∈ (0,1)使f(ξ)...
