已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1,F2，如果C上存在点Q，使∠F1QF2=120°

Question

那么椭圆的离心率e的取值范围是？

Answer 1

2011天津的高考题，原题是|PF2|=|F1F2|，不知道是不是你得题目抄错了

(1)
设F1坐标为（-c，0），F2坐标为（c，0） （c＞0）
由|PF2|=|F1F2|，可得√[(a-c)²+b²]=2c
∴2(c/a)²+c/a-1=0
解得，c/a=1/2或-1（舍）
∴椭圆的离心率e=1/2
(2)
由(1)知a=2c，b=√3c，
椭圆方程为3x²+4y²=12c²ï¼Œ
直线PF2的方程为y=√3(x-c)
A，B的坐标满足方程组:
3x²+4y²=12c²
y=√3(x-c)
化简得，5x²-8xc=0
解得x=0或x=8c/5
将x的值代入得方程组的解为：
x=0、y=-√3
或x=8c/5，y=(3√3/5)c
设A点坐标为(8c/5,(3√3/5)c )，B点坐标为(0,(-√3)c)
所以|AB|=√[(8c/5)²+{[(3√3/5)c+√3c ]²}=16c/5
于是|MN|=5|AB|/8=2c
圆心（-1，√3）到直线PF2的距离
d=|-√3-√3-√3c|/2=√3|2+c|/2
∵d²+(|MN|/2)²=4²
∴3/4(2+c)²+c²=16
解得c=2或-26/7(舍)
∴ 椭圆方程为(x²/16)+(y²/12)=1