（2011?上海模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=

Question

（2011?上海模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．（1）求证：BC⊥PC；（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

方法1
（I）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且 AC＝2

2

．
取AB的中点E，连接CE，
由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2，
又 BE＝

1

2

AB＝2，所以 CE＝

1

2

AB，
则△ABC为等腰直角三角形，
所以AC⊥BC，
又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC?平面ABCD，由三垂线定理得，BC⊥PC
（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC，
过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，
则AF的长即为点A到平面PBC的距离，
在直角三角形PAC中，PA=2，AC＝2

2

，PC＝2

3

，
所以 AF＝

2 6

3

即点A到平面PBC的距离为

2 6

3

方法2
∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°
∴以A为原点，AD、AB、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系
∵PA=AD=DC=2，AB=4．
∴B（0，4，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2）
（I）∴

BC

＝(2，?2，0)，

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