请教大大，这道线性代数

Question

设矩阵A=
1 2 3
2 4 0
3 0 5
写出矩阵A的二次型

麻烦大大帮我讲解一下

Answer 1

矩阵A的二次型就是
f(x)=x^2+4y^2+5z^2+4xy+6xz。
为什么得到这个结果，倒过来会更好讲一些。
一个3个变量的二次型如果是下式
f(x)=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz，
那么它对应的矩阵为
A=
a d e
d b f
e f c
所以你反过来回推就可以了。

Answer 2

对应的二次型为f(x,y,z)=x^2+4y^2+5z^2+4xy+6xz,具体过程见图片

Answer 3

二次形就是一个矩阵代表了向量乘法(a1x1,....anxn)*(b1x1,...bnxn)结果的系数矩阵，它在代数求解最小二乘法的时候非常有用。注意2*x1*x2=x1*x2+x2*x1，这个代表了一种对称关系。

所以A=x1^2+3x2^2+5x3^2+4x1x2+6x1x3

Answer 4

矩阵元素Amn对应二次型F（X1.....Xn）里因子XmXn前的系数，如A23即为X2X3前的系数，又2次型有AMN=ANM,即按对角线对称相等。由此可得二次型=X1^2+4X2^2+5X3^2+4X1X2+6X1X3