求助,证明函数F(X)=根号(X^2+1)-X在其定义域为减函数,不知过程,请大家帮助一下,最好附文字说明,谢谢了

Question

求助,证明函数F(X)=根号(X^2+1)-X在其定义域为减函数,不知过程,请大家帮助一下,最好附文字说明,谢谢了
书中是这么说的,设X1和X2为区间(负无穷,正无穷)上任意两个值,是X1<X2,
则F(X)-F(X1)=根号(X2^2+1)-根号(X1^2+2)-(X2-X1)
=X2^2-X^2/根号{(X2^2+1)-根号(X1^2+1)}-(X2-X1)
=X1+根号(X2-X1^2+1)-根号(X2^2+1)/{根号(X1^2+1)+根号(X2^2+1)}*(X2-X1)
因为X2>X1
所以X2-X1>0,且根号(X2^2+1)+根号(X1^2+1)>0
又任意X属于实数,都有根号(X2^2+1)>根号X的平方=绝对值X>=X
所以X-根号(X1^2+1)<0,
X1-根号(X^2+1)<0,X2-根号(X2^2+1)<0,
所以F(X2)-F(X1)<0,即F(X2)<F(X1)
所以,函数F(X)=根号(X^2+1)-X在其定义域R内单调递减

实在是有些看不懂,向大家请教一下

Answer 1

上面的错了。
(1)当X<=0时
明显的,X越大,X越趋近于0,X^2越小,所以函数F1(X)=根号(X^2+1)-X为减函数,而函数F2(X)= -X也是一个减函数,所以F(X)=F1(X)+F2(X)也是一个减函数.
(2)当X>=0时
假设F1(X)=根号(X^2+1)+X,那么
因为F(X)>0,F1(X)>0,
F1(X)显然在X>0时递增,
又F(X)F1(X)=1,这就意味着F(X)在X>0时递减

综合(1)(2)可得结论函数F(X)=根号(X^2+1)-X在其定义域为减函数

用我这个方法就行了,别管书上的..我的多简单啊

Answer 2

证明函数F(X)=根号(X^2+1)-X在其定义域R内为减函数
证明函数F(X)=√[(X^2+1)-X]=1/√[(X^2+1)+X]
分母√[(X^2+1)+X]在定义域R内为增函数
∴F(X)=根号(X^2+1)-X在其定义域为减函数.