用定义证明函数f(x)=（根号下x的平方+1）-x是减函数

Answer 1

f(x)=（根号下x的平方+1）-x=[（根号下x的平方+1）-x]*[（根号下x的平方+1）+x]/（根号下x的平方+1）+x]
=(x^2+1-x^2)/(根号（x^2+1)+x)
=1/(根号（x^2+1)+x)
显然x越大，根号（x^2+1)+x也越大，1/（根号（x^2+1)+x）越小，
所以函数f(x)=（根号下x的平方+1）-x是减函数

Answer 2

解：1、导数法
f'(x)=x/√(1+x^2) -1=[x-√(1+x^2)]/√(1+x^2)。
分子总是<0，所以f'(x)<0，即f(x)在R上单调递减。
2、定义法。
设x1∈R，x2∈R，且x2>x1。
f(x2)-f(x1)=√(1+x2^2)-x2-√(1+x1^2)+x1
=1/[√(1+x2^2)+x2]-1/[√(1+x1^2)+x1]
前面的分母大，所以f(x2)-f(x1)<0
所以单调递减。

Answer 3

根号x^2+1-x
当x<0时
√(x^2+1）-x
随着x的增大而减小，所以
x^2+1）-x在（-∞，0]上是减函数

当x>0时
√(x^2+1-x]=1/[√(x^2+1）+x]
随着x的增大而减小，所以
√(x^2+1）-x]在[0，+∞）上是减函数

所以函数在R上是减函数

Answer 4

（x²+1）都在根号下还是（根号下x²）再加一？

追问

x的平方+1 都在根号下

追答

设x1＜x2
则f(x2)-f(x1)
=√(1+x2²)-x2-√(1+x1²)+x1
=1/[√(1+x2²)+x2]-1/[√(1+x1²)+x1]
比较分母的大小，分母越大值越小
因为√(1+x2²)与√(1+x2²)都大于0
所以比较√(1+x1²)与√(1+x2²)的平方的大小
当x1＜x2＜0
所以x1²+1＞x2²+1
所以f(x2)＞f(x1)
所以f(x)在（负无穷，0）上是单调递增的
同理可证 当0＜x1＜x2时
所以f(x2)＜f(x1)
所以f(x)在（0，正无穷）上是单调递减的