解释一下数分问题

Question

解释一下数分问题如图，那两个画横线的句子为什么一个说有限项一个说无限项？第二个句子说“都有无限项”的意思不就是每当n取值，每个领域都有无限项，可是第一个明明说只有有限项啊？

Answer 1

子数列。

追问

请问，一定是子数列吗？有限项的子数列是无限多项吗？还是？

烦劳细致一点，一定会采纳谢谢

追答

因为谈到极限，子数列也必须是无限项。比如偶数项、奇数项。如果不存在收敛的子数列，那么原数列也不收敛。其实这个好理解，因为一个数列本身也是自己的一个子数列。
但是，不是说存在不收敛的子数列，原数列就不收敛，比如交错数列：
1-1/2+1/3-1/4+...=ln2是收敛的。
其中-1/2-1/4-1/6-...=-1/2×（1+1/2+1/3+...）=-∞，发散；
1+1/3+1/5+...>1/2+1/4+1/6+....=(1/2)(1+1/2+1/3+...)=+∞，

追问

我理解第一个红线画的有限项，也理解您说的收敛必须是无限项，也理解不存在收敛的子数列则原数列必不收敛，但是我不理解的是:第二个红线画的，既然数列的任何子列均不收敛，为什么落在O(x0,εn)(εn=1/n)时，都有无限多项？子列不是不收敛吗？不应该都只有有限项吗？

追答

不等于有限项，极限的定义是，要求落在O(x0,εn)(εn=1/n)时，n>N的所有项！！（注意，所有），都在这个范围里面。
但是，反过来，n>N只要有一项，不在这个范围里面，就是发散，即使在这个范围内的有无穷多项，也没有用。
举个例子：
1,1/2,3,1/4,5,1/6，....
所有偶数项，n>N（偶数）,anN的奇数项，N+1，N+3，N+5，无穷多项，都比1/N大。

追问

这样子，谢谢您！

可是为什么第个划红线的句子中的有限项是什么意思？

我懂了，前一句意思是那个领域是在子列中，子列含有原数列的有限项，而后一句意思是在原数列领域中，有无限项，对吗？

追答

对。子数列可以是有限项，也可以有无限项。

追问

十分感谢！