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Question

已知抛物线y²=2px（p＞0),焦点F与一直线l与抛物线交于A,B两点,且│AF│+│BF│=8，且AB的垂直平分线横过定点S（6,0）
①求抛物线方程
②求△ABS面积的最大值

Answer 1

解：
(1)设A(y1²/(2p),y1)；B(y2²/(2p),y2)；(y1<y2)；则设AB中点为点M((y1²+y2²)/(4p),(y1+y2)/2)；
可知抛物线y²=2px（p＞0)，其焦点F(p/2,0)；准线方程x=-p/2；
则由抛物线定义可知：|AF|=y1²/(2p)+p/2;|BF|=y2²/(2p)+p/2；
故|AF|+|BF|=y1²/(2p)+p/2+y2²/(2p)+p/2=(y1²+y2²)/(2p)+p=8 ；
则M(4-p/2,(y1+y2)/2)；AB的垂直平分线为MS；则向量AB*向量MS=0对于任意向量AB成立；
向量AB=((y2²-y1²)/(2p),y2-y1);向量MS=(2+p/2,-(y1+y2)/2)；
则(y2²-y1²)/(2p)(2+p/2)-(y2-y1)(y1+y2)/2=0恒成立；则(2+p/2)/(2p)-1/2=0；
解之：p=4 ；故抛物线方程为y²=8x
(2)则向量AB=((y2²-y1²)/8,y2-y1);向量MS=(4,-(y1+y2)/2)；
S△ABS=|AB||MS|/2=√{[(y2²-y1²)/8]²+(y2-y1)²}√{4²+[-(y1+y2)/2]²}/2
=(y2-y1)[64+(y1+y2)²]/32
又知：|AF|+|BF|=(y1²+y2²)/(2p)+p=8，p=4；则y1²+y2²=32；
则有(y2-y1)≤√(2*32)=8；当且仅当y1=-4;y2=4时取等；
则S△ABS=(y2-y1)[64+(y1+y2)²]/32=3(y2-y1)≤24；
故△ABS面积的最大值为24。.
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