将n 只球随机地放入N(n≥N) 盒子，设每个盒子都可以容纳n 只球，求下列事件的概率：

Question

将n 只球随机地放入N(n≥N) 盒子，设每个盒子都可以容纳n 只球，求下列事件的概率：
（1）每个盒子至多有一个只球；
（2）恰有M (M≥n)只球放入某一个指定的盒子中。

Answer 1

首先，有m>=x, n>=x, x>=1, 否则期望为0；

样本点总数：m^n (这表示m的n次方)
有效样本点数：P(x, x) * C(m, x) * (x ^ (n - x))
其中：
P(x, x)是x的全排列，也就是(x!)；
C(m, x)是 从m个盒子里取x个盒子的取法
C(m, x) = (m ! ) / (x! * (m - x)!)；

大家都知道期望 = 有效样本点数 / 样本点总数

因此 结果 = P(x, x) * C(m, x) * (x ^ (n - x)) / m ^ n

解释如下：因为每放入一个球都有m种选择，根据乘法原则，样本点总数为m ^ n。

而有效的样本点数，一定是有而且只x个盒子里有球，因此，首先选出x个盒子，即C(m, x)，然后，这x个盒子里都至少有一个球，这x个球按什么顺序都行，因此有P(x, x)种可能，最后还剩了(m - x)个球，这些球可以在这x个盒子里随便放，因此有(x ^ (n - x))中可能。

参考资料：百度一下