设α β是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根，当k为何值时，（α+1）^2+（β+1）^2有最小值

Question

要过程

Answer 1

首先根据方程有两个实数根，获取k的取值范围
x²-2kx+k+20=0
△=(-2k)²-4(k+20)≥0
k²-k+20≥0
(k-5)(k+4)≥0
k≥5 或k≤-4

根据一元二次方程解得性质得
α+β=2k
αβ=k+20

化简并变形
(α+1)²+(β+1)²
=α²+2α+1+β²+2β+1
=α²+2αβ+β²+2α+2β+2-2αβ
=(α+β)²+2(α+β)-2αβ+2
=(2k)²+2(2k)-2(k+20)+2
=4k²+4k-2k-40+2
=4k²+2k-38 (k≥5 或k≤-4)

设抛物线方程y=4k²+2k-38 ，定义域为(k≥5 或k≤-4)，开口向上
k=-2/2*4=-1/4为抛物线的对称轴
所以当k≤-1/4时 即k≤-4时，函数为减函数
当k≥1/4时 即k≥5时，函数为增函数

根据对称性k=5，与k=-4 哪个与对称轴近，就在哪点取得最小值
|-4-(-1/4)|=15/4，|5-(-1/4)|=19/4

所以当k=-4时(α+1)²+(β+1)²有最小值
最小值为4*(-4)²+2*(-4)-38=18

Answer 2

(α+1)^2+(β+1)^2=(α+β)^2-2αβ+2(α+β)+2
=(2k)^2-2*20-2*2k+2=4k^2-4k-38
=4(k-1/2)^2-39
所以当k=1/2时(α+1)^2+(β+1)^2有最小值－39

Answer 3

因为方程有两个实根，所以Δ=4k^2-4(k+20)≥0，即（2k-1)^2≥81,解得k≤-4或者k≥5
由韦达定理有αβ=k+20,α+β=2k,
所以
（α+1）^2+（β+1）^2 = (α+β)^2+2（α+β）-2αβ+2 = 4k^2+4k-2(k+20)+2
= 4k^2+2k-38 = 4(k-1/4)^2-38-1/4
此式在k=-4的时候有最小值（考虑定义域），为82

Answer 4

（α+β）^2-2αβ+2(α+β)+2
之后用韦达定律代入 得到k的方程的一边y=k的方程 用顶点式化方程
根据前面的方程有根先算k的范围

看对称轴是否包含 如包含则是

不包含看左边还是右边 算y

Answer 5

△=(-2k)^2 - 4(k+20)>=0 => k^2-k-20=(k-5)(k+4)>=0 => k<=-4 or k>=5
α+β=2k ;αβ=k+20，
(α+1)^2+(β+1)^2=α^2+β^2+2(α+β)+2=(α+β)^2 -2αβ+2(α+β)+2
=4k^2 -2k-20+4k+2=4k^2+2k-18
抛物顶点(-b/2a,-(b^2-4ac)/4a)=(-1/4,-73/4)开口朝上
k<-4值愈大 k=-4时值=4*(-4)^2+(-8)-18=38
k>5 值愈大 k=5时值=4*5^2+10-18=92
=>最小值=38此时 k=-4