高数题目。

Question

某厂生产某种商品的固定成本为200万元，每生产一个单位的产品，成本就增加5万元，且已知其需求函数为q=100-2p，其p为价格，q为产量。在产销平衡的情况下试求：
1。分别列出产品的成本函数和收益函数。
2。求出使该产品的总利润最大的产量q及最大利润。

希望高手能解明白点哦！谢谢

Answer 1

1.q为产量，故成本为：200+5q；因为：q=100-2p，所以：p=50-0.5q，所以毛收入为：
pq=(50-0.5q)q=50q-0.5q^2.所以利润为：毛收入-成本=50q-0.5q^2-200-5q=-0.5q^2+45q-200.
所以成本函数为：200+5q；收益函数为：-0.5q^2+45q-200.

2.总利润的函数是一个二次函数，图像开口向下，使得函数最大的q为：q=-b/(2a)=-45/(2*(-0.5))=45。最大为：812.5万元。
所以使该产品的总利润最大的产量为：45单位；最大利润为：812.5万元.

Answer 2

中学数学就能做。
1、成本为200+5q万元；收益y=pq-5q-200万元；
2、将需求q=100-2p代入收益，得y=-2p²+110p-700=-2(p-27.5)²+812.5
故收益最大为812.5万元，此时价格p=27.5万元，产量q=100-2p=45

如果要用点高数，就把y对p求导并另为0，即：dy/dp=-4p+110=0，得p=27.5

Answer 3

方程sinx=x只有一个实根
首先证明有根
令f(x)=sinx-x
则f(-π/2)=sin(-π/2)+π/2=π/2-1>0
f(π/2)=sin(π/2)-π/2=-π/2+1<0
f(-π/2)*f(π/2)<0
所以在区间(-π/2，π/2）上有解
再证明单调性。
f'（x）=cosx-1
因为|cosx|<=1
所以f'（x）=cosx-1<=0
则函数单减，所以可知最多只有一个实根解
综合的方程只有一个实根

2.Y＝2e^X+e^(-x)
求导：Y'=2e^X-e^(-x)
对于本题：极值点即导数为零点
则Y'=2e^X-e^(-x)=0
所以e^X=1/根号2
则最小值为：2根号2

2.Y＝X/1+X^2
使用拉格朗日二乘法得
构造函数F（x，y)=X/（1+X^2）+a（-x^3+3x^2-6x+2-Y）
对x求导得
(1-X^2)/(1+X^2)^2+a（-3x^2+6x-6）=0
对Y进行求导
a=0
对a求导。
-x^3+3x^2-6x+2-Y=0
显然可知此时有
（1-X^2）/(1+X^2)=0
则有x=1，-1
所以最大值为2，最小值为0

同理，对第二问
构造函数F（x，y)=X/（1+X^2）+a（2^X-Y）
对x求导得
(1-X^2)/(1+X^2)^2+a（2^Xln2）=0
对Y进行求导
a=0
对a求导
2^X-Y=0
显然可知此时有
（1-X^2）/(1+X^2)=0
则有x=1，-1
所以最大值为2，最小值为0
你的串号我已经记下，采纳后我会帮你制作